第一章 §2-§2.1 第二课时　等差数列性质的应用-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

第二课时　等差数列性质的应用 [课标解读] 1．进一步巩固等差数列的概念和通项公式． 2．掌握等差数列的性质和等差中项．(重点、难点) [教材梳理] 1．等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) 2.等差数列项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak． (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….[来源:学科网] 3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． 4．若数列{an}、{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． [要点探究] ►知识点一　等差数列的性质 结合等差数列的性质：m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，探究下列问题： [探究1]　该性质反过来是否成立？ 提示　不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非常数列的等差数列时，结论成立． [探究2]　若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，那么am＋an＝2ap是否成立？若m＋n＋p＝q＋r＋s(m，n，p，q，r，s∈N＋)，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立？ 提示　成立．因为当m＋n＝2p时，am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋2(p－1)d＝2ap， 同理可以证明：若m＋n＋p＝q＋r＋s(m，n，p，q，r，s∈N＋)，有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立． ►知识点二　等差数列与一次函数 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，思考下面问题： [探究1]　能否把等差数列的通项公式化为一次函数？ 提示　能．an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，令d＝a(a为常数)，a1－d＝b(b为常数)，则等差数列的通项公式化为一次函数an＝an＋b(n∈N＋)． [探究2]　若数列的通项公式an是n的一次函数，那么数列{an}是等差数列吗？ 提示　是．设an＝an＋b(a，b为常数)，则an＋1＝a(n＋1)＋b，则an＋1－an＝a(n＋1)＋b－an－b＝a(常数)，故数列{an}是等差数列. 　(1)已知等差数列{an}中，a5＋a7＋a9＝21，则a7的值是[来源:学科网ZXXK] A．7　　　　B．9　　　　C．11　　　　D．13 (2)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________． 【尝试解答】　(1)∵a5＋a9＝2a7，∴a5＋a7＋a9＝3a7＝21，即a7＝7，选A. (2)利用等差数列的性质可得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，从而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，故a5＝5，所以a2＋a8＝2a5＝10. ●方法技巧 等差数列的运算的两条常用思路 1．根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他． 2．利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇒am＋an＝ak＋al＝2as. 1．在公差为d的等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[来源:学&科&网] 解析　解法一　(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48， ∴a13＝12. (2)化成a1和d的方程如下： 解得或 ∴d＝3或－3. 解法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13， 得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17. 解得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 【尝试解答】　设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20