第一章 §2 习题课 等差数列的前n项和-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

习题课　等差数列的前n项和 题型一　数列的通项an与前n项和Sn的关系 　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 (2)Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. ①Sn＝2n2＋3n＋2； ②Sn＝3n－1. 【尝试解答】　(1)由已知得，am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3.因为数列{an}为等差数列， 所以d＝am＋1－am＝1， 又∵Sm＝＝0， ∴m(a1＋2)＝0. ∵m≠0，所以a1＝－2， 又am＝a1＋(m－1)d＝2，解得m＝5.选C. (2)①当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式， ∴an＝ ②当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式， ∴an＝2×3n－1(n∈N＋)． ●方法技巧 由数列的前n项和求数列的通项公式的注意点 已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略了条件n≥2而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时，Sn－1＝S0，而与前n项和的定义矛盾．可见由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n＝1时是否也成立，若成立用统一解析式表示，若不成立，则用分段函数的形式表示． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n. (1)求这个数列的通项公式； (2)请问：这个数列是等差数列吗？如果是，求出它的首项与公差． 解析　(1)根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)知，当n>1时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)] ＝2n－. ① 当n＝1时，a1＝S1＝1＋＝也满足①式． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－. (2)由(1)可知，数列{an}是等差数列，首项为，公差为2. 　已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a1·a2＝a，求数列{|an|}的前n项和． 【尝试解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由题意得 解得或 ∴由等差数列通项公式得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a1，a2，a3分别为2，－1，－4， 不满足a1·a2＝a； 当an＝3n－7时，a1，a2，a3分别为－4，－1，2， 满足a1·a2＝a. 故|an|＝|3n－7|＝ 记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n＝1时，S1＝|a1|＝4； 当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 当n＝2时，满足此式． 综上，Sn＝ ●方法技巧 1．对绝对值数列{|an|}出题时常常针对其前n项和，一般有两个方面：一是已知an；二是已知数列{an}的前n项和Sn. 2．对于这类数列的求和问题，一是要弄清{an}中哪些项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果． 2．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项的和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解析　(1)由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.[来源:Z_xx_k.Com] 令an＞0，得n＜， ∴当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， ∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ 　甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向而行，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？ 【尝试解