第一章 §1-§1.2 数列的函数特性-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.2　数列的函数特性 [课标解读] 1．理解数列的函数特性．(重点) 2．掌握三种特殊数列．(重点、难点) [教材梳理] 数列的增减性 递增 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． 递减[来源:Zxxk.Com] 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 摆动[来源:学+科+网Z+X+X+K] 数列 一个数列{an}，从第2项起，有些大于它的前一项，有些小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列． 常数 列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列. [要点探究] ►知识点　数列的函数特性 [探究1]　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ 提示　数列也可以用图像、列表来表示． [探究2]　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 提示　(1)通项公式法：an＝2n. (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图像法： [探究3]　类比函数的单调性，探究2中的数列具备什么性质？ 提示　探究2中的数列是递增数列，它满足an＋1>an. 　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增减性． 【尝试解答】　图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． 【答案】　见解析 ●方法技巧 数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性． 1．根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图像，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－；(2)bn＝；(3)cn＝. 解析　(1)图像如图①，由图像知数列{an}为递减数列． (2)图像如图②，由图像知数列{bn}为递增数列． (3)图像如图③，由图像观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 答案　(1)递减　(2)递增　(3)不是递增数列，也不是递减数列　图像略 　已知数列{an}的通项公式为an＝a·(a≠0且为常数)，试判断数列的单调性． 【尝试解答】　an－an－1＝－a·(n≥2，n∈N＋)， 当a＞0时，an－an－1＜0，即an＜an－1， 由递减数列的定义知，数列{an}是递减数列； 当a＜0时，an－an－1＞0，即an＞an－1，由递增数列的定义知，数列{an}是递增数列． 【答案】　当a＞0时，数列{an}是递减数列；当a＜0时，数列{an}是递增数列 ●方法技巧 判断数列单调性常用方法 1．图像法：判断数列的单调性时，可以根据给出的通项公式画出图像，观察图像的变化趋势． 2．定义法：用数列的后一项减去前一项an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列，这与判断函数单调性的作差法非常相似． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝－，求证：此数列为递增数列． 证明　对于任意n∈N＋，由an＝－，有 证法一　an＋1－an＝(－)－(－)＝2－(＋)． ∵(2)2－(＋)2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2) ＝2(n＋1)－2 ＝2(－) ＝2(－)>0， 即an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 证法二　＝＝<1. ∵an<0，∴an＋1>an.[来源:学*科*网Z*X*X*K] ∴数列{an}是递增数列． 　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)．试问数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项．如果没有，说明理由． 【尝试解答】　∵an＋1－an＝·(n＋2)－·(n＋1)＝ ＝·， ∴n≤7时，an＋1－an>0，an＋1>an； n＝8时，an＋1－an＝0，an＋1＝an； n≥9时，an＋1－an<0，an＋1<an. 故存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9. 【答案】　存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9 ●方法技巧 已知数列通项公式求最大(小)项的基本思路 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项，其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，本题我们可以利用比差法来探讨数列的单调性，以此求解最大项． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是 A．a30，a1　　　　　　 B．a1，a30 C．a10，a9 D．a10，a30 解析　an＝＝1＋.[来源:Z.xx.k.Com] 当n≥10时，an＞1且an随n的增大而减小．此时a10最大； 当1≤n＜10时，an＜1且an随n的增大而减