第一章 §1-§1.1 数列的概念-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1　数列 §1.1　数列的概念 [课标解读] 1．通过实例，了解数列的概念． 2．能够根据数列的前几项求数列的通项公式．(重点、难点) [教材梳理][来源:学科网] 1．数列及其相关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 首项 数列的第1项a1常称为首项 通项 数列中的第n项an，叫作数列的通项 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为{an}． 3．根据数列的项数可以将数列分为两类 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． [要点探究] ►知识点一　数列的相关概念 如图，观察三角形数、正方形数，回答下面的问题： [探究1]　分别把相应的数写下来，得到怎样的一列数？ 提示　三角形数构成的数列是：1，3，6，10，…. 正方形数构成的数列是：1，4，9，16，…. [探究2]　把部分三角形数和正方形数随意打乱，如：1，1，10，16，3，4，6，是否构成一个数列？ 提示　这些数按照一定的顺序排列，可以构成一个数列． ►知识点二　数列的分类及其表示方法 观察下列几组数列，探究下列问题： ①1，2，3，…，n ②1，2，3，…，n，… ③2，2，2，… ④1，，，，…， ⑤6，－6，6，－6，… [探究1]　这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类？ 提示　从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列(如①④)和无穷数列(如②③⑤)． [探究2]　从项的大小可以把数列分为几种类型？ 提示　可以把数列分为四类：如①②中，从第二项起，每一项都大于它的前一项，这样的数列叫递增数列；如③中它的每一项都相等，这样的数列叫常数列；如④从第二项起，每一项都小于它的前一项，这样的数列叫递减数列；如⑤从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列． ►知识点三　数列的通项公式 [探究]　根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题： ①an＝n，②an＝(－1)n，③an＝ (1)是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通项公式？ 提示　并不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式形式上不一定是唯一的，如②和③表示的是同一个数列． (2)通项公式an＝f(n)的作用是什么？ 提示　通项公式an＝f(n)中n代表项数，an代表项，因此，通过数列的通项公式能够求出数列中的指定项，同时也知道任意一项在该数列中的准确位置． 题型一　根据数列的前几项写出数列的通项公式 　写出下列数列的一个通项公式： (1)，3，，，3，…； (2)0.9，0.99，0.999，0.999 9，…； (3)，，－，，－，…； (4)2，－，，－，…. 【尝试解答】　(1)数列可化为，，，，，…，[来源:学科网ZXXK] 即，，，，…. 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.[来源:Zxxk.Com] (2)原数列可变形为1－，1－，1－，1－，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－.[来源:Zxxk.Com] (3)这个数列各项的绝对值为，，，，，…. 分别考虑分子、分母，且(－1)n具有转换符号的作用，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·. (4)使各项分子都为4，变为，－，，－，…，再给分母分别加1，又变为，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·. 【答案】　(1)an＝　(2)an＝1－ (3)an＝(－1)n·　(4)an＝(－1)n＋1· ●方法技巧 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可以参考以下几个思路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 2．常见的几个数列： (1)数列－1，1，－1，1，…的通项公式是an＝(－1)n；数列1，－1，1，－1，…的通项公式是an＝(－1)n＋1或(－1)n－1. (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n. (3)数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1. (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n.