4.2&4.3 简单线性规划 简单线性规划的应用-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§4.2　简单线性规划 §4.3　简单线性规划的应用 [课标解读] 1．掌握利用线性规划知识求目标函数最值的方法．(重点) 2．会利用线性规划知识求解实际问题．(重点、难点) [教材梳理] 线性规划问题的有关概念 名　称 意　义 约束条件 变量x，y满足的一组条件 线性约 束条件 由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标 函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式 线性目 标函数 目标函数是关于x，y的二元一次解析式 可行解 满足线性约束条件的点 可行域 所有可行解组成的平面区域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规 划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 [要点探究] ►知识点一　线性规划问题 已知实数x，y满足求z＝2x＋y的取值范围．请思考下面的问题： [探究1]　此题中线性约束条件是________，目标函数是________． 提示　线性约束条件是关于变量x，y的一次不等式组成的不等式组，故此题中的线性约束条件为目标函数是欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式，故此题中的目标函数为z＝2x＋y. 答案　　z＝2x＋y [探究2]　目标函数z＝2x＋y中z的几何意义是什么？ 提示　由z＝2x＋y，得到y＝－2x＋z，该直线的斜率是－2，在y轴上的截距是z，即z为直线在y轴上的截距． [探究3]　式子表示的几何意义是什么？ 提示　表示点A(x，y)与B(a，b)两点连线的斜率． [探究4]　式子(x－a)2＋(y－b)2表示的几何意义是什么？ 提示　(x－a)2＋(y－b)2表示点A(x，y)与B(a，b)两点连线距离的平方． ►知识点二　线性规划的实际应用问题 [探究1]　解线性规划实际应用问题时的关键是什么？ 提示　解线性规划的实际应用问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求最优解． [探究2]　利用线性规划解决实际应用问题应注意的事项有哪些？ 提示　①注意问题中所有待确定的未知量，并用数学符号表示； ②注意问题中所有的限制条件(约束条件)，并用线性方程或线性不等式表示； ③注意问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值． [探究3]　若可行域的顶点不为整点(或不包括边界)，且最优解需整数解，此时需怎样处理？ 提示　若区域顶点不为整点(或不包括边界)时应先求出该点的坐标，并代入目标函数求值，适当放缩目标函数的值，使它为整数且与目标函数值最接近，在这时对应的直线上取可行域内的整点．如果没有整点，就继续放缩，直到取到整点为止. 　(1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________． (2)变量x，y满足设z＝，则z的最小值为________． 【尝试解答】　(1)画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋2y＝0并平移，结合图像可知，当平移后的直线经过点B(2，0)时，直线z＝3x＋2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当时，zmax＝3×2＋0＝6. (2)由约束条件 作出可行域如图所示． 由 解得A.由解得C(1，1)． 由解得B(5，2)． z＝＝表示可行域中的点与原点O连线的斜率． 观察图形可知，zmin＝kOB＝. 【答案】　(1)6　(2) ●方法技巧 解线性规划问题的步骤及注意事项 1．解二元线性规划问题的一般步骤 (1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)； (2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点； (3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值； (4)答：给出正确答案． 2．一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b＞0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b＜0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小． 3．求目标函数的最值问题，要注意分析目标函数所表示的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等，是数形结合思想的体现． 1．(2019·浙江)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是 A．－1　　　　　　　　　B．1[来源:Z#xx#k.Com] C．10 D．12 解析　如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1，1)，B(1，－1)，C(2，2)为项点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，当直线y＝－x＋经过C(2，2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C. 答案　C 　已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ A．3　　　　B．2