第三章 §3-§3.1 基本不等式-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3.1　基本不等式 [课标解读] 1．了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式．(重点、难点) [教材梳理] 1．基本不等式 (1)形式：≥． (2)成立的前提条件：a≥0，b≥0．[来源:学科网ZXXK] (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立． 2．算术平均数和几何平均数 (1)定义： 叫作正实数a，b的算术平均数． 叫作正实数a，b的几何平均数． (2)关系： 两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [要点探究] ►知识点　基本不等式 [探究1]　观察如图所示图形，其中AB是⊙O的直径，点C是AB上的一点，CD⊥AB，AC＝a，BC＝b，据此思考下列问题： (1)利用此图形能得出的a，b间的不等关系是________． 提示　易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝，这个圆的半径为， 显然它大于或等于CD，即≥. 答案　≥ (2)C点在何位置时，上述不等式等号成立？ 提示　当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立． [探究2]　根据基本不等式及其成立的条件，回答下列问题： (1)若a，b同号，则与的关系如何？ 提示　当a，b>0时，≥； 当a，b<0时，－a，－b>0， 所以＝－≤－＝－，即≤－. (2)当a，b异号时，不等式≥一定不成立吗？ 提示　一定不成立，因为当a，b异号时，ab<0，所以无意义，故不等式一定不成立． 　下列不等式一定成立的是 A．lg＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R) 【尝试解答】　取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0, 则＝1，故排除D，应选C. 【答案】　C ●方法技巧 基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点 1．不等式成立的条件：a，b都是正数． 2．“当且仅当”的含义： (1)仅当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； (2)仅当≥的等号成立时，a＝b 即＝⇒a＝b. 1．已知a>0，b>0，给出下列四个不等式： ①a＋b＋≥2　②(a＋b)≥4　 ③≥a＋b　④a＋≥－2 其中正确的不等式的个数是 A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析　①a＋b＋≥2＋≥2＝2，当且仅当即 a＝b＝时等号成立，故①正确； ②(a＋b)＝2＋＋≥ 2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，②正确； ③a2＋b2－(a＋b)＝a2－ab＋b2－ba＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(－)(－)(a＋ab＋b)＝(－)2≥0，故a2＋b2≥(a＋b)即≥a＋b；④显然成立． 答案　D 　已知a，b，c为正数， 求证：＋＋≥3. 【尝试解答】　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2(当且仅当a＝b时等号成立)； ＋≥2(当且仅当a＝c时等号成立)； ＋≥2(当且仅当b＝c时等号成立)； 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. ●方法技巧 将所要证明的不等式分解变形，重新组合后再用基本不等式，体现了“配凑”的数学方法，其中要注意等号是否成立，尤其是多个基本不等式相加(乘)或多次连续使用基本不等式． 2．已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥3. 证明　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. ∵a，b，c均为正实数， ∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)， ＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)， ＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 从而＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 　已知，a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9. 【尝试解答】　证明　因为a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝(a＋b＋c) ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立， 故＋＋≥9. ●方法技巧 用基本不等式证明不等式，要注意以下几点： 1．“1”的代换，如本例中“1”的代换有两种方式，其一为＋＋＝·1＝(a＋b＋c)，其二为＋＋＝＋＋； 2．“拆项”与“配项”，如本题(a＋b＋c)＝3＋＋＋，为使用基本不等式创造了条件． 3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：≥8. 证明　因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥. 同理，－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正， 相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号. 易错误区10　忽视基本不等式成立的条件致误 [典例]　给出下面四个推导过程：(1)因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2.(2)因为x，y∈(0，＋∞)，所以lg x＋lg y≥2 .(3)