第三章 §2-§2.1 一元二次不等式的解法-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2　一元二次不等式 §2.1　一元二次不等式的解法 [课标解读] 1．了解一元二次不等式的概念． 2．会解一元二次不等式．(重点、难点) 3．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点) [教材梳理] 1．一元二次不等式的定义 不等式未知数的个数只含有一个． 不等式未知数的最高次数是2． 2．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系 设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac(a>0) 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 (1)求方程 f(x)＝0 的解 有两个不 等的实数 解x1，x2 有两个相 等的实数 解x1，x2 没有实数解 (2)画函数 y＝f(x)的 示意图 (3)得 不等 式的 解集 f(x) >0 ①{x|x<x1 或x>x2} ② ③R f(x) <0 ④{x|x1< x<x2} ⑤∅ ⑥∅ [要点探究] ►知识点一　不含参数的一元二次不等式的解法 [探究1]　在解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)时，若ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，即不等式的左边可以分解因式，还需要判断Δ的正负吗？ 提示　不需要．此时方程ax2＋bx＋c＝0 一定有根，即Δ≥0一定成立． [探究2]　不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为∅的条件是什么？ 提示　a<0且Δ≤0. ►知识点二　含参数的一元二次不等式的解法 [探究1]　若不等式中的二次项系数含有字母，一般应对二次项系数分几种情况进行讨论？ 提示　分三种情况，即应对二次项系数进行大于零、小于零、等于零三种情况的讨论． [探究2]　系数为字母的不等式应根据字母范围分类讨论，分类讨论的结果最后能否合并？ 提示　不能合并．讨论的每种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，故不能合并． ►知识点三　不等式恒成立问题 根据“不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)恒成立⇔”探究下列问题： [探究1]　上述结论中去掉条件“a>0”，则不等式“ax2＋bx＋c>0”恒成立的条件是什么？ 提示　不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是当a＝0时，b＝0，c>0； 当a≠0时， [探究2]　上述结论中若“ax2＋ bx＋c>0”换为“ax2＋bx＋c≥0”，恒成立的条件又是什么呢？ 提示　ax2＋bx＋c≥0(a>0)恒成立的条件是[来源:Zxxk.Com] [探究3]　上述结论中不等式“ax2＋bx＋c>0”，若换为不等式“ax2＋bx＋c<0”，其恒成立的条件是什么呢？ 提示　不等式ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是 当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，需 　解下列一元二次不等式： (1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0； (3)x(7－x)>0；(4)13－9x2<0. 【尝试解答】　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0， ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图(1))． 图(1) ∴观察图像可得，不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图像如图(2)所示，根据图像可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． 图(2) (3)原不等式可化为x(x－7)<0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7， 函数y＝x(x－7)的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(0，0)，(7，0)(如图(3))． 观察图像可得，不等式的解集为 图(3) {x|0<x<7}． (4)原不等式可化为9x2－13>0， x2－>0， >0， 方程＝0的两根是x1＝－，x2＝， 图(4) 函数y＝的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点，(如图(4))． 观察图像可得，不等式解集为 . ●方法技巧 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； 2．确定相应方程的解，或判断方程无实数解； 3．根据一元二次方程解的情况画出对应的二次函数的草图； 4．根据图像写出不等式的解集． 1．解下列不等式： (1)(x－1)(2－x)≥0； (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1. 解析　(1)原不等式等价于(x－1)(x－2)≤0， 方程(x－1)(x－2)＝0的两解分别为x1＝1，x2＝2， 则(x－1)(x－2)≤0的解集为{x|1≤x≤2}， 故原不等式的解集为{x|1≤x≤2}． (2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，方程2x2－x－1＝0的两根为x1＝1，x2＝－.故原不等