第二章 解三角形 章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)　②已知两角和任一边，求其他边和角　③c2＝a2＋b2－2abcos C　④已知两边和它们的夹角求第三边和三个角 [来源:Zxxk.Com] 　(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 【解析】　(1)在△ABD中，由正弦定理得 ＝. 由题设知，＝，所以sin∠ADB＝. 由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝ ＝. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2×＝25. 所以BC＝5. ●方法技巧 正、余弦定理应用需要注意的三个方面 1．正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一． 2．统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形． 3．求值时注意方程思想的运用． 　在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求∠A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 【解析】　(1)由已知，根据正弦定理可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， ∴∠A＝120°. (2)由(1)，∠B＋∠C＝60°，∠B＝60°－∠C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1，即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°<∠C<60°，所以∠C＝30°.故∠B＝30°，∴△ABC为等腰钝角三角形． ●方法技巧 1．确定三角形形状的主要的途径及方法 途径一：化边为角 途径二：化角为边 主要方法 (1)通过正弦定理实现边角互化 (2)通过余弦定理实现边角互化 (3)通过三角变换找出角之间的关系 (4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论 2.解三角形时的常用结论 (1)在△ABC中，∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (2)在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－∠C，＝－，则cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos . (3)在△ABC中，a2＋b2<c2⇔∠C>，a2＋b2＝c2⇔∠C＝，a2＋b2>c2⇔0<∠C<. 　航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为180 km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度(取≈1.4，≈1.7)． [来源:Z|xx|k.Com] 【解析】　如图，根据题意可得 ∠A＝15°，∠DBC＝45°， 所以∠ACB＝30°， AB＝180×＝21(km)＝21 000(m)， 所以在△ABC中，＝， 所以BC＝·sin 15°＝10 500(－)(m)． 因为CD⊥AD， 所以CD＝BCsin∠CBD＝10 500(－)× ＝10 500(－1)≈10 500×(1.7－1)＝7 350(m)，[来源:学科网] 所以山顶的海拔高度＝10 000－7 350＝2 650(m)．[来源:Zxxk.Com] 答：山顶的海拔高度约为2 650 m.[来源:学科网ZXXK] ●方法技巧 解决测量高度问题的一般步骤 在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用． 　在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值； (2)求sin的值． 【解析】　(1)在△ABC中，根据正弦定理 ＝， 得AB＝·BC＝2BC＝2. (2)在△ABC中，根据余弦定理得 cos A＝＝， 于是sin A＝＝. 从而sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝cos2A－sin2A＝， 所以sin＝sin2Acos －cos 2Asin ＝. ●方法技巧 正、余弦定理与三角函数的综合应用 1．以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型，在具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的． 2．解三角形问题实质是几何问题转化为代数问题，即方程问题，所以利用正、余弦定理解题时，常与平面向量等知识结合已