第二章 §1-§1.2 余弦定理-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.2　余弦定理 [课标解读] 1．了解向量法证明余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理并能用其解决一些简单的三角形度量问题．(重点) 3．能够综合利用正、余弦定理解三角形．(难点) [教材梳理] 余弦定理及其推论 1．语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍． 2．公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝a2＋c2－2accos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C． 3．推论：cos A＝， cos B＝，cos C＝． [要点探究] ►知识点一　余弦定理及其证明 [探究1]　如图，设＝c，＝b，＝a，那么向量c的平方是什么？表示为对应的边可以得到什么式子？ 提示　c＝b－a，|c|2＝(b－a)·(b－a)＝b·b＋a·a－2a·b＝a2＋b2－2abcos C，所以c2＝a2＋b2－2abcos C. [探究2]　利用探究1的结论思考下面的问题： (1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cos C? 提示　由探究1知c2＝a2＋b2－2abcos C，故cos C＝. (2)若C＝90°，探究1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，若不成立说明理由． 提示　若C＝90°，探究1的结论仍成立，即c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特殊情况． ►知识点二　余弦定理在解三角形中的应用 [探究1]　根据余弦定理及其推论的形式，可以解决哪些解三角形问题？ 提示　余弦定理及其推论可以解决两类解三角形问题： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出三个角． [探究2]　根据下面的提示，写出角A的范围． ①在△ABC中，若a2<b2＋c2⇔________． ②在△ABC中，若a2＝b2＋c2⇔________． ③在△ABC中，若a2>b2＋c2⇔________． 提示　由余弦定理可知cos A＝，显然当a2<b2＋c2时，cos A>0，即0°<A<90°；当a2＝b2＋c2时，A＝90°；当a2>b2＋c2时，90°<A<180°. 答案　①0°<A<90°　②A＝90°　③90°<A<180° 　(1)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________． (2)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ A．4　　　B.　　　 C.　　　 D．2[来源:学科网ZXXK] 【尝试解答】　(1)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2；cos A＝＝＝，∴sin A＝ ＝. (2)∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－. 于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.故选A. 【答案】　(1)2　　(2)A ●方法技巧 已知两边及一角解三角形有以下两种情况 1．若已知角是其中一边的对角，有两种解法：一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． 2．若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解． 1．在△ABC中， (1)已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； (2)已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. 解析　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8. ∴b＝2. 由cos A＝， 得cos A＝＝. ∵0°<A<180°，∴A＝60°. (2)解法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，∴a＝6或a＝3. 当a＝6时，由正弦定理得 sin A＝＝×＝1， ∴A＝90°，C＝60°，当a＝3时，A＝30°，C＝120°. 解法二　由正弦定理得 sin C＝＝＝. ∵b<c，∴B<C. ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°，这时a＝＝6， 当C＝120°时，A＝30°，这时a＝＝3. 　△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A，B，C. 【尝试解答】　解法一　由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝＝. ∴A＝30°. cos C＝＝ ＝＝. ∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°， ∴B＝180°－45°－30°＝105°. 解法二　由解法一知sin A＝.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 由正弦定理得sin C＝＝＝. ∵b>c，∴B>C. ∴角C应是锐角．因此C＝45°. 又∵A＋