第二章 §1-§1.1 正弦定理-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1　正弦定理与余弦定理 §1.1　正弦定理 [课标解读] 1．了解正弦定理的推导过程． 2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点) 3．会判定三角形解的个数．(难点) [教材梳理] 1．正弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 语言 ＝＝ 2.解三角形 (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． (2)正弦定理可以用于两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角． ②已知三角形的任意两边与其中一边所对的角，求其他的角和边． 3．三角形的面积公式 △ABC的面积S＝absin C＝bcsin A＝acsin B. [要点探究] ►知识点一　正弦定理 根据正弦定理＝＝探究以下问题： [探究1]　在直角三角形中很容易证明正弦定理，在锐角三角形中可转化为直角三角形来证明正弦定理．那么在钝角三角形正弦定理是如何证明的呢？ 提示　在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，如图所示，过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，根据任意角的三角函数的定义有CD＝asin B＝bsin A，于是＝，同理可得＝，从而＝＝. [探究2]　如何利用△ABC的外接圆证明正弦定理？ 提示　在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′，所以sin C＝sin B′＝. ∴＝2R.同理，可得＝2R，＝2R. ∴＝＝＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，得到等式＝＝ . ►知识点二　正弦定理的应用 [探究1]　根据正弦定理的形式，可以解决哪几类解三角形问题？ 提示　利用正弦定理，可以解决以下两类问题： (1)已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边．这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值．此类问题变化较多，在解题时要分清题目所给的条件． [探究2]　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理可能有两解、一解或无解的情况，请根据下表完成下列填空： 提示　 [来源:Zxxk.Com] A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ①a＝bsin A ②a≥b bsin__A<a<b a<bsin__A a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 　(1)在△ABC中，A＝120°，B＝30°，a＝8，则c＝________． (2)已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 【尝试解答】　(1)∵A＋B＋C＝180°，∴C＝30°. 又由正弦定理＝得c＝＝.[来源:学科网] (2)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由＝，得a＝＝＝10. 由＝得b＝＝ ＝20sin 75°＝20×＝5＋5. 【答案】　(1)　(2)B＝105°　a＝10　b＝5＋5 ●方法技巧 已知两角和一边解三角形的步骤 1．在△ABC中，已知a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c. 解析　由三角形内角和定理知 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理，有＝， ∴c＝a·＝5· ＝5· ＝5·＝(＋)． 题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形 　在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，求B，C和c. 【尝试解答】　由正弦定理得sin B＝＝＝，又a＝2，b＝6，a<b， ∴B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2. ●方法技巧 已知两边和其中一边的对角解三角形的方法 1．首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． 2．如果已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角． 3．如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． 2．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求∠A； (2)求AC边上的高． 解析　(1)在△ABC中，∵cos B＝－， ∴sin B＝＝. 由正弦定理得sin A＝＝. 由题设知<∠B<π，∴0<∠A<. ∴∠A＝. (2)在△ABC中，∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. ∴AC边上的高为a