预测11 空间向量与立体几何-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】

预测11 空间向量与立体几何 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆ 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 1、 重点考简单几何体的表面积或体积； 2、 球与简单几何体的切接问题或与之有关的最大值； 3、 几何体的点面距离等问题； 1、 线线、线面、面面垂直的判定与性质； 2、 第二小题重点考查利用向量计算线面角或二面角； 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质; (2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力; (3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 1.平面的基本性质 (1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断. (2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面. 2.空间直线、平面的位置关系 (1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面. 判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况. 理解平行公理与等角定理： 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行； 等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交 判断依据：直线与平面的公共点的个数. 理解直线与平面平行的定义. (3)空间两个平面的位置关系：相交、平行 判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交. 3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理 (1)线面平行的判定定理与性质定理 1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行. 符号语言： . 要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线. 2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行. 符号语言： . 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行. 3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言： . 要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线. 4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言： . 5)平行关系的转化 (2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理 1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直. 符号语言： . 要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可. 2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言： . 此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直. 3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直. 符号语言： . 要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线. 4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言： . 要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线. 5)垂直关系的转化 4.空间向量在立体几何中的应用 (1)空间向量的坐标运算 设 ，则 ， ， ， ， ， ， . 5. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 6. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m, l∥α,n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α,n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m, α∥β,n∥m⇔n＝λm α⊥β,n⊥m⇔n·m＝03. 异面直线所成的角 7·.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β