第一章《计数原理》竞赛题 - 2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3

绝密★启用前 2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第一章《计数原理》竞赛题 一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分） 1．(本题5分)已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ） A．150 B．240 C．390 D．1440 【答案】C 【分析】 分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 【详解】 因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种. 故选：C 【点睛】 易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题. 2．(本题5分)的展开式中的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 【答案】A 【分析】 由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】 展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 3．(本题5分)在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ） A．32 B．15 C．16 D．31 【答案】D 【分析】 按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计算可得解. 【详解】 两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为，此题，所以最多可分为31个区域. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计算是解题关键. 4．(本题5分)从1，2，3，…，20中选取四元数组，满足 ，则这样的四元数组的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 通过假设，分析得到满足的的个数，从而确定出四元数组的个数. 【详解】 因为，记， 因为，所以，记， 因为，所以，记， 因为，所以，记， 因为，记， 所以， 所以四元数组的个数，即为满足条件的的个数， 又因为且， 所以的个数为：（看成个排成一列，会形成个空位，插入个隔板隔开，形成个数）， 则四元数组的个数为， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，其中涉及到数字排列的变换以及隔板法的运用，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难. 5．(本题5分)已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ） A．49 B．48 C．47 D．46 【答案】A 【分析】 利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】 集合知： 1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为， 而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15； 2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可： 的集合为，而B有种， 集合对(A,B)的个数为； 3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可： 的集合为，而B有种， 集合对(A,B)的个数为； 4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可： 的集合为， 而B有种，集合对(A,B)的个数为； ∴一共有个， 故选：A 【点睛】 本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题. 6．(本题5分)在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 【答案】C 【解析】 试题分析：第一类2315