2021届山西省太原市高三模拟考试（二模）数学（理）试题（PDF）

$ 太原市 2021 年高三年级模拟考试（二） 数学试题（理）参考答案及评分标准 一．选择题：A D C C B B A D C B C C 二．填空题：13. 60 14. 9 7 15. 2ln2 16. )3, 4 9[ 三．解答题： 17.（Ⅰ）证明： )1(2 1 ))(1()( 112 1        nnaan a aan a nn n nn n ， 2 1)1( 112 1         nn n nn n aa na aa an ， 2 1 1   nn bb ， 2 1 1   nn bb 是一个与n无关的常数， ………4 分 }{ nb 是以首项 2 1 1 b 、公差 2 1 d 的等差数列； ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 *)( 2 Nnnbn  ， 21 n aa na nn n     ， nn aa 31   ， 11 a ， )(3 *1 Nna nn   ， )( 32 * 1 Nn n a bc n n n n    ， ………8分 ) 33 3 3 21( 2 1 12  nn nS  , ① ① 3 1  得 ) 33 1 3 3 3 2 3 1( 2 1 3 1 132 nnn nnS   , ② ①－②得 ) 33 1 3 1 3 1 3 11( 2 1 3 2 132 nnn nS   ， ) 3 329( 8 1 1   nn nS . ………12 分 18 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为 )6,4[ ， )8,6[ ， )10,8[ ， )12,10[ ， )14,12[ ， )16,14[ ， ]18,16[ 的频率分别为 08.0,12.0,18.0,24.0,2.0,1.0,08.0 ， 1104.1108.01712.01518.01324.01120.0910.0708.05 x ， 所以当天这 50 个社区垃圾量的平均值为11吨； ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 11 , 92  ， 3 ， 15865.0 2 6827.01)()14(  XPXP ， 所以这 200 个社区中“超标”社区的个数为 3215865.0200  ； ………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得样本中当天垃圾量为 )16,14[ 的社区有 612.050  个，垃圾量为 )18,16[ 的社区有 408.050  个，所以Y 的可能取值为 3,2,1,0 ， ………8 分 6 1)0( 3 10 3 6  C CYP ， 2 1)1( 3 10 1 4 2 6  C CCYP ， 10 3)2( 3 10 2 4 1 6  C CCYP ， 30 1)3( 3 10 3 4  C CYP ， Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 6 1 2 1 10 3 30 1 5 6 30 13 10 32 2 11 6 10 EY . ………12 分 19.（Ⅰ）证明：设点 HG, 分别是 CBCD, 的中点，连结 GHFHEG ,, ， 则 DBGH // ，且 GHDB 2 ， DBEF // ，且 EFDB 2 ， GHEF // ，且 GHEF  ， EFHG 平行四边形， EGFH // ， ………1分  DECE  ， CDEG  ， 平面 CDE 平面 ABCD，  EG 平面 ABCD， ………3分  FH 平面 ABCD， FH 平面 BCF ， 平面 BCF 平面 ABCD； ………6 分 （Ⅱ）连结 BG，由（Ⅰ）得 EG 平面 ABCD， 四边形 ABCD是边长为 2的菱形，且  60BAD ，  BCD 是边长为2的等边三角形， CDBG  ， 3BG ， ………8 分 以G为坐标原点，向量 GBGD, 的方向分别为 x轴， y 轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系 xyzG  ，由题意得 )0,0,0(G ， )0,3,2(A ， )03,0( ，B ， )0,0,1(C ， 设 )0)(,0,0( ttE ，则 ), 2 3, 2 1( tF  ， 设 ),,( 111 zyxm  是平面 AEF 的一个法向量， 则       ,0 ,0 AEm EFm         ,032 ,0 2 3 2 1 111 11 tzyx yx 令 11