山西省太原市 2021 届高三模拟考试（二）数学（文）试题（扫描版）

$ 太原市 2021 年高三年级模拟考试（二） 数学试题（文）参考答案及评分标准 一．选择题：A D C C B B A D C B C C 二．填空题：13.1 14. 9 7 15. 2 16. )3, 4 9[ 三．解答题： 17.（Ⅰ）证明：在 ABD 中, 2 21sin 2 1   BADADABS ABD ， 21AD ， ……3 分 由余弦定理得 3cos2222  BADADABADABBD ， 3BD ； ……6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 3BD ，设 )600(  BDC ， 由  120BCD 和正弦定理得 2 120sin)60sin(sin      BDCDBC  ， ………8分 )]60sin([sin2   CDBC )60sin(2   ， ………10 分  600  ， 1)60sin( 2 3   ， 23  CDBC ， CDBC  的取值范围为 ]2,3( . ………12 分 18 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为 )6,4[ ， )8,6[ ， )10,8[ ， )12,10[ ， )14,12[ ， )16,14[ ， ]18,16[ 的频率分别为 08.0,12.0,18.0,24.0,2.0,1.0,08.0 ， 1104.1108.01712.01518.01324.01120.0910.0708.05 x ， 所以当天这 50 个社区垃圾量的平均值为11吨； ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得该样本中“超标”社区的频率为 2.008.012.0  ， 所以这 200 个社区中“超标”社区的概率为 2.0 ， 所以这 200 个社区中“超标”社区的个数为 402.0200  ； ………7分 （Ⅲ）由题意得样本中“超标”社区共有 10)08.012.0(50  个，其中垃圾量为 )16,14[ 的社区有 612.050  个，垃圾量为 )18,16[ 的社区有 408.050  个，按垃圾量用分层抽样 抽取的 5 个社区中，垃圾量为 )16,14[ 的社区有3个，分别记为 cba ,, ；垃圾量为 )18,16[ 的 社区有 2个，分别记为 ed , ， ………9 分 从中选取 2个的基本事件为 ( , )a b ，( , )a c ，( , )a d ，( , )a e ，( , )b c ，( , )b d ，( , )b e ，( , )c d ， ( , )c e ， ( , )d e ，共 10 个；其中所求事件“至少有 1 个垃圾量为 ]18,16[ 的社区”为 ( , )a d ， ( , )a e ， ( , )b d ， ( , )b e ， ( , )c d ， ( , )c e ， ( , )d e ，共 7 个； 所以至少有 1 个垃圾量为 )18,16[ 的社区的概率为 7.0p . ………12 分 19.（Ⅰ）证明：设点 HG, 分别是 CBCD, 的中点，连结 GHFHEG ,, ， 则 DBGH // ，且 GHDB 2 ， DBEF // ，且 EFDB 2 ， GHEF // ，且 GHEF  ， EFHG 平行四边形， EGFH // ， ………1 分  DECE  ， CDEG  ， 平面 CDE 平面 ABCD，  EG 平面 ABCD， ………3分  FH 平面 ABCD， FH 平面 BCF ， 平面 BCF 平面 ABCD； ………6 分 （Ⅱ）连结 BG，由（Ⅰ）得 EG 平面 ABCD， 直线 BE与平面 ABCD的所成角为 45 ，  45EBG ， EGBG  ，………8 分 设 OBDAC  ，连结OE，易得OEFB是平行四边形， BFOE // ， 四边形 ABCD是边长为 2的菱形，且  60BAD ，  BCD 是边长为2的等边三角形， 3BG ， EGSVVVV ABCABCEACEBACEFCEFA   3 1 1 3 1   EGS BCD . ………12 分 20.(Ⅰ)证明：当 1a 时，令 xxxxgxfxh cossin1)()()(  ， Rx ， 则 xxxh sincos1)(  ， （1）当 4 0  x 时，则 0sincos1)(  xxxh ， )(xh 在 ) 4 ,0[  上单调递增， 0)0()(  hxh ， )()( xgx