预测10 圆锥曲线中的综合性问题-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】

预测10 圆锥曲线中的综合性问题 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆ 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等； 直线、圆等知识点的综合性问题 1、 圆锥曲线中的定点问题； 2、 圆锥曲线中的定值问题； 3、 圆锥曲线中的最值问题； 4、 圆锥曲线中的直线方程问题； 考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 1、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． 例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2、弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2) 或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2| ＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2). 3、中点弦所在直线的斜率 圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标． 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) k＝－eq \f(b2x0,a2y0) 双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) k＝eq \f(b2x0,a2y0) 抛物线：y2＝2px(p＞0) k＝eq \f(p,y0) 1、 直线方程的设法技巧：根据题目需要设消x还是消y;合理是的设方程为：y=kx+b,或x=my+n； 2、 点的求法：（1）、已知一个点求另外一个点可以运用韦达定理的两根的关系求出另外一个跟，（2）若两条直线的斜率互为相反数或者互相垂直，求另外一个点是可以运用代换法求出。 1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． 所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选：D． 2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ， 圆的标准方程为 . 由题意可得 ， 可得 ，解得 或 ， 所以圆心的坐标为 或 ， 圆心到直线的距离均为 ； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线 的距离均为 ； 所以，圆心到直线 的