秘籍08 数列-备战2021年高考数学抢分秘籍（新高考地区专用）

秘籍08数列 1．已知等比数列满足，，则其前6项的和为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，等比数列满足，， 则，所以，所以，所以．选B． 【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．在等差数列中，若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在等差数列中，，∴． ∴． 故选C． 【名师点睛】利用等差数列中项的下标和的性质解题可简化运算，此性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，属于基础题． 3．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为 A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】D 【解析】设竹子自上而下各节的容积构成等差数列，且，则，解得 所以该竹子的容积为，故选D． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果. 等差、等比数列基本量的计算是解等差、等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. 1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． 2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 3．等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行． 4．对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． 4．各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为 A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意得 所以=故答案为B. 【名师点睛】（1）本题主要考查等差中项和等比数列的通项，意在考查学生对等差数列、等比数列的基础知识的掌握能力和基本运算能力. （2）计算时，注意观察下标之间的关系，由于4比2大2,5比3大2，所以= ，从而可以适当优化解题.在数列计算时，注意观察数列下标之间的关系，选择恰当的性质进行计算，提高解题效率. 等差、等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等差、等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形，等差、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等. （1）在利用等差数列的性质解题时，要注意：若，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立． （2）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 5．已知是等差数列，且，． （1）求数列的通项公式 （2）若，，是等比数列的前项，求的值及数列的前项和． 【答案】（1）．（2） 【解析】数列是等差数列，设公差为d，且，． 则：， 解得：， 所以：． 若，，是等比数列的前3项， 则：，根据等差数列的通项公式得到：， 代入上式解得：. 所以，，是等比数列的前3项， 所以：等比数列的公比为． 由等比数列的通项公式得到：． 则， 故：， ， ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系. （1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系； （2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解． 1．已知数列满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析；（2）. 【解析】（1）∵， ∴， 又， ∴数列是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ∴． ∴， ∴． 【名师点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是必须结合式子的结构特