专题2.4 概率问题-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题2.4 概率问题 求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定各事件会同时发生； （3）先求出每个事件发生的概率，再求其积． 1．起源于汉代的“踢键子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢键子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢键子的分值均在分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”． （1）求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)； （2）要在“踢毽健将”和“踢建达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演，试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少？ （3）以样本的频率值为概率，若高一（1）班有60个同学，试估计该班“踢毽健将”和“踢健达人”各有多少人． 【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断（文） 【答案】（1）68；（2）；（3）“踢毽健将”人；“踢毽达人”人． 【分析】（1）写出频率分布直方图中各组数据的频率，再求平均数； （2）由分层抽样求出抽出的6人中，“踢毽达人”应抽人数，再由古典概型求解； （3）由“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率，估计对应的概率，依据古典概型求得． 【解析】（1）由， 样本的平均值为68； （2）依频率分布直方图“踢毽健将”有10人，“踢毽达人”有5人． 需分层抽样抽6人，则要在“踢毽达人”中抽取2人， 所有的抽法共10种，包含张睿的抽法有4种， 故张睿同学被抽取的概率是． （3）由频率分布直方图知，“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率分别是0.1和0.05， 由此估计“踢毽健将”和“踢毽达人”的概率分别是0.1和0.05， 所以高一（1）班“踢毽健将”有人，“踢毽达人”有人． 2．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为．记事件甲破译密码，事件乙破译密码． （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可表示为，所以． 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程． 【试题来源】备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区） 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率； （3）根据事件、之间的关系可得出小明计算错误的原因，再结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率． 【解析】（1）由题意可知，，且事件、相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为， 所以； （2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且、互斥 所以 ； （3）小明同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式， 正确解答过程如下： “密码被破译”也就是“甲､乙二人中至少有一人破译密码” 可以表示为，且、、两两互斥，所以 ． 3．2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各个国家都翘首以盼疫苗上市．现在全球已经有多款疫苗上市，并且陆续在各个国家开始接种．如今我国有一款疫苗，经过三期临床试验以后，估计该款疫苗每次接种的有效率可达90%，并且已经陆续接到其他国家的订单．现已知该款疫苗需要接种两次，假设前后两次接种互不影响． （1）某人接种了我国的这款疫苗，则其可以接种成功的概率为多少？ （2）已知某国家已经有意向与我国签订疫苗订单，买疫苗之后免费为本国首批10万人注射．但是由于部分人可能在两次注射疫苗之后未接种成功，所以该国决定购买一批预备疫苗为之后没有接种成功的人进行第二轮注射，第二轮注射仍为注射两次．根据以上信息，估计理想情况下该国需要从我国一共购买多少支疫苗？ 【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（六） 【答案】（1）99%；（2）购买20．2万支疫苗． 【分析】（1）利用概率的加法公式根据题意计算即可； （2）结合第（1）问，用频率估计概率，再用概率估计总体．． 【解析】（1）方法一：接种两次的情况下接种成功，可能会出现“第一次接种成功､第二次接种不成功”“第一次接种不成功､第二次接种成功”“两次都接种成功”3种情况． 则其概率， 所以此人可以接种成功的概率为99%． 方法二：接种两次的情况下接种成功，可以转化为“1-两次接种都不成功的概率”， 因此所求概率， 所以此人可以接种成功的概率为99%． （2）由（1）可得，接种该款疫苗可以接种成功的概率为99%，未接种成功的概率为1%，