专题2.5 立体几何-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题2.5 立体几何 1．常见的线面垂直的方法有： （1）通过面面垂直的性质得线面垂直； （2）利用线面垂直的判定定理证明，再证明线线垂直时，通常通过线面垂直得线线垂直，或由几何关系结合勾股定理得线线垂直． 2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略： （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；（2）求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 3．求点到平面的距离，常采用等体积法，具体方法如下： 先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离． 1．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为4的等边三角形，且平面平面，点为线段中点，为中点，点为上的动点． （1）若平面，求线段的长； （2）在（1）的条件下，求三棱锥与四棱锥的体积的比值． 【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试（二） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用面面平行的性质定理可得，从而可得为的中点，即求． （2）由（1）可得，根据，结合锥体的体积公式即可求解． 【解析】（1）平面，平面， 平面平面，， 为线段中点，为的中点， 又为中点，． （2）设到平面的距离为， ，为中点， ，且， 由（1），， 又，，， 又，， ． 2．如图，在正四棱柱中，点是侧棱上一点且． （1）求证：平面平面； （2）若是棱的中点，且，求四棱锥的体积． 【试题来源】全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高三下学期4月 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由侧面，得到，又由，证得平面，即可证得平面平面．（2）设，求得，利用，求得，过作于，得到平面，结合，即可求解． 【解析】（1）在正四棱柱中，知侧面， 因为平面，可得， 又，且，平面，所以平面，因为平面，故平面平面． （2）如图，在正四棱柱中，由于，，两两互相垂直， 因为是棱的中点，且，从而知正四棱柱的上、下底面是边长为的正方形， 设； 由（1）知平面，可得，且，而， 由勾股定理得，可得， 解得，即，则侧棱长，， 过作于，则平面，且； 所以， 即四棱锥的体积为． 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且，点F为PD中点． （1）若，证明：直线AF∥平面PEC； （2）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义 分层训练 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，． 【分析】（1）首先取的中点，连接，，根据三角形中位线性质和已知得到，，从而得到四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定即可证明平面．（2）由题知要使平面平面，只需，从而得到，即可得到． 【解析】（1）取的中点，连接，，如图所示： 因为，分别为，的中点，所以，． 因为，所以为的中点，所以，． 所以，． 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以直线平面． （2）存在一个常数，使得平面平面，理由如下： 要使平面平面，只需， 因为，， 所以， 因为平面，，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以． 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE． （1）求证：EF平面ABC； （2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积． 【试题来源】备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）取线段AC的中点M，连结MF，MB，可证明四边形BEFM为平行四边形，从而得到EFBM．从而得证．（2）先证明DE⊥CE，由平面ADE⊥平面BCDE，从而得出CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高，从而可求体积． 【解析】（1）证明：如图，取线段AC的中点M，连结MF，MB． 因为F，M为AD，AC的中点，所以MFCD，且MFCD． 在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BECD． 所以MFBE，且MF＝BE． 所以四边形BEFM为平行四边形，故EFBM． 又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF平面ABC． （2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2，AB＝4，E为AB的中点， 所以ADE，CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2． 所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2． 又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，所以∠DEC＝90°，即DE⊥CE． 又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE平面BC