河南省宏力学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题

河南宏力学校2020--2021学年度第二学期期中考试 高二数学（理科） 一、单选题（每题5分共60分） 1．已知复数 和虚数单位 满足 ；则 （ ）. A． B． C． D． 2． 等于（ ） A． B． C． D． 3．设i为虚数单位，复数 ，则z在复平面内对应的点在第_____象限.（ ） A．一 B．二 C．三 D．四 4．“一切金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”.此推理方法是（ ） A．类比推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．以上都不对 5．函数y＝ 的最大值为（ ） A．e－1 B．e C．e2 D．10 6． （ ） A． B． C．2 D． 7．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则曲线在点 处的切线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则函数 在 处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 9．设曲线 与 有一条斜率为1的公切线，则 （ ） A． B． C． D． 10．函数 的定义域为 为 的导函数，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为（ ） A．1915 B．1917 C．1919 D．1921 二、填空题（每题5分共20分） 13．若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则 =___________． 14． ________. 15．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 关收税金 ，第 关收税金为剩余金的 ，第 关收税金为剩余金的 ，第 关收税金为剩余金的 ，第 关收税金为剩余金的 ， 关所收税金之和，恰好重 斤，问原本持金多少？”若将题中“ 关所收税金之和，恰好重 斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为 ，按此规律通过第 关”，则第 关需收税金为_________. 16．已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值范围是______. 三、解答题 17．（10分）计算： （1） ； （2） 18．（12分）已知函数 . (Ⅰ)求函数 的单调区间； (Ⅱ)求证：当 时， . 19．（12分）已知 . （1）求 ； （2）若 ，试分析 在 上的单调性. 20．（12分）已知函数 ，曲线 过点 . （1）求函数 解析式. （2）求函数 的单调区间与极值. 21．（12分）已知函数 ，其中 为实数， （1）若 ，求函数 的最小值； （2）若方程 在 上有实数解，求 的取值范围； 22．（12分）已知函数 ， ． （1）若 在 处的切线为 ，求 的值； （2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 参考答案 1．B【详解】 ， .故选：B. 2．C【详解】 表示以原点为圆心， 为半径的上半圆的面积， .故选：C. 3．C【详解】 ， z在复平面内对应的点为 ，位于第三象限， 4．B【详解】在推理的过程中：一切金属都能导电，是大前提，铁是金属，是小前提， 所以铁能导电，是结论，故是演绎推理， 5．A【详解】令 当 时， ；当 时 ， 所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以 故选：A. 6．D【详解】由定积分的运算性质，可得 ， 又由 ， 根据定积分的几何意义，可知定积分 表示 所表示的图形的面积， 即 所表示的上半圆的面积，其中面积为 ，所以 .故选：D. 7．B【详解】由 可得 ，则 ，所以 ，由导数的几何意义可得，曲线在点 处的切线的斜率等于 .故选：B. 8．A【详解】 ， EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， 函数 在 处的切线方程 ，即 .故选：A 9．B【详解】因为 ，所以 ，又因为切线的斜率为1，所以 ， 解得 ， 所以切线方程为 ，因为 ，所以 ， 解得 ，代入切线方程得 ，再将 代入 ，解得 ， 10．A【详解】由题意可知 在 单调递增，又 ， 时， ； 时， ；对于 ，当 时，不等式成立， 当 时， ，不等式不成立；当 时， ，且 ， 不等式成立不等式的解集 故选： . 11．B【详解】 ， 因为 在 上有两个不同的零点， 即 有两个不同的正根，即 有两个不同的正根， 即 与 有两个不同的交点. 因为 ，当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 为增函数，在 为减函数， 当 时， ，且当 时， ， 在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示： 由图象得 ，故选：