第1章 导数及其应用【知识梳理】-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习（苏教版）

第1章 导数及其应用 【知识梳理】 【第一节 导数的概念】 1.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间 上的平均变化率为： 注意： ① 本质：如果函数的自变量的“增量”为 ,且 ,相应的函数值的“增量”为 , ,则函数 从 到 的平均变化率为 ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从t1秒到t2秒的平均变化率即为t1秒到t2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 2.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出 和 ②作商：对所求得的差作商，即 。 注意： 1. 是 的一个“增量”，可用 代替 ，同样 。 2. 是一个整体符号，而不是 与 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意 ，两者都可正、可负，但 的值不能为零， 的值可以为零。若函数 为常函数，则 =0. 3、导数的概念 定义：函数 在区间 上有定义， ，若 无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A， 则称 在 处可导，并称该常数A为函数 在 处的导数,记作 . 注意： ① 增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。 的意义： 与0之间距离要多近有多近，即 可以小于给定的任意小的正数。 ② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。 即存在一个常数与 无限接近。 ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。 4、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量： ； ②求平均变化率： ； ③得导数：由 得 也可称为三步法求导数。 【第二节 导数的运算】 1、基本初等函数的导数公式 （1） （C为常数）， （2） （n为有理数）， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7） ， （8） ， 注意： 1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线 （C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即 （n∈Q）． 特别地 ， 。