4.2.1 随机变量及其与事件的联系（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.2.1　随机变量及其与事件的联系 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解随机变量及离散型随机变量与连续型随机变量的含义． 2．会用离散型随机变量表示事件及事件的概率. 通过随机变量及离散型随机变量与连续型随机变量的含义及用离散型随机变量表示事件的学习，达成数学抽象、数学建模、逻辑推理的核心素养. 一、随机变量 1．随机变量的概念 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 由定义可知，随机变量的取值由随机试验的结果决定． 2．随机变量的分类 (1)离散型随机变量：所有可能的取值都是可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)连续型随机变量：取值范围包含一个区间的随机变量，称为连续型随机变量． 二、随机变量表示事件与概率 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此 P(X≤a)＋P(X＞a)＝1. 三、随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)设a，b∈R，对随机变量X，事件X＝a与事件X＝b互斥．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．下列不是随机变量的是(　　) A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号 B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间 C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间 D．某网站一天的点击量 C　[选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．] 3．①某机场候机室中一天的旅客数量X； ②连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X； ③某篮球下降过程中离地面的距离X； ④某道路斑马线一天经过的人数X. 其中不是离散型随机变量的是(　　) A．①中的X　　 B．②中的X C．③中的X　　 D．④中的X C　[①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．] 4．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点　　 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点　　 D．第一枚6点，第二枚1点 D　[只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是．] 5．已知一批产品共12件，其中有3件次品，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________． 0,1,2,3　[可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X＝0,1,2,3．] 探究一　随机变量的概念 [知能解读]　随机变量ξ与函数f(x)的区别 函数是研究确定性现象的，它定义在实轴上，有确定的因果关系；随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，这便是“随机”的本源． 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； (3)体积为8 cm3的正方体的棱长． [分析]　判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量． 解　(1)被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量． (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量． (3)正方体的棱长为定值，不是随机变量． [方法总结]　判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即 (1)试验在相同条件下是否可重复进行； (2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个． [训练1]　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数； (2)标准大气压下，水沸腾的温