专题06 构造法-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题06 构造法 【方法指导】 构造法是通过对条件和结论的分析,构造辅助元素(一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等),架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决的数学方法. 构造法作为一种数学方法,不同于一般的逻辑方法,一步一步寻求必要条件,直至推导出结论,它属于非常规思维.其本质特征是“构造”,用构造法解题,无一定之规,表现出思维的试探性、不规则性和创造性.数学证明中的构造法一般可分为两类:一类为直接性构造法,一类 为间接性构造法. 【例题解读】 【典例1】（2021·山东高三专题练习）已知定义R在上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令 ，由题意，得出 为定义在R上的偶函数，且 在 上单调递增，再把不等式 转化为 ，利用单调性求解. 【详解】 令 ，则 ， 又由 ，所以 . 故 ，即 为定义在R上的偶函数； 当 时， ， 所以 在 上单调递增， 由 ， 即 ， 所以 ， 解得 ， 所以不等式 的解集为 . 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题关键是根据 这一信息，构造函数 ，进而利用函数单调性的定义而得解. 【典例2】 （2021·山东临沂市·高三其他模拟）已知函数 若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数 ，由导数结合奇偶性得出 在 上单调递增，进而得出 ，最后由基本不等式得出答案. 【详解】 函数 定义域为 ，令 ， 易知 和 均奇函数，所以 为奇函数 ，所以 在 上单调递增 由 得 即 ，所以 ，即 则 当且仅当 时，取等号 故选：D 【点睛】 关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出 ，进而由基本不等式得出最值. 【典例3】（2021·浙江高三其他模拟）已知正项数列 满足 ， ，则（ ） A．对任意的 ，都有 B．对任意的 ，都有 C．存在 ，使得 D．对任意的 ，都有 【答案】D 【分析】 特值法可以排除A、B选项，再令 ，可求出函数的单调性，从而可以得出 ，再根据累乘法可得 ，由此得出答案． 【详解】 解：∵ ，∴可取 ， 则由 得 ， ∴ ，故选项A，B错误； 令 ，则 ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ ，即 ，当且仅当 时等号成立， ∴ ，即 ， ∴ ，累乘可得 ， ∴ ，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查数列与不等式，解题的关键是构造函数 ，从而得到 ，进一步用累乘法可以得到 ，考查了转化与化归思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【典例4】（2021·全国高三二模（理））已知某空间几何体的三视图如图所示，图中均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三视图还原几何体如图，进而将其放置于正方体中，即可得答案. 【详解】 易知该几何体为三棱锥，且棱锥的各个顶点恰好位于棱长为1的正方体的顶点,如图， 所以该棱锥的外接球即为该正方体的外接球，外接球半径为 ，所以表面积为 . 故选:B. 【点睛】 本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，属中档题.本题解题的关键在于还原几何体后，将几何体放置于正方体中，即可求解. 【专题训练】 一、单选题 1．（2021·山东高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，其导函数为 且当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造新函数 ，利用导数确定 的单调性，从而可得 时 的正负，利用奇函数性质得出 时 的正负，然后分类讨论解不等式． 【详解】 设 ，则 ，所以 在 上递增， 又 ，所以 时， ，此时 ，所以 ， 时， ，此时， ，所以 ， 所以 时， ， 因为 是奇函数，所以 时， ， 由 得 或 ，所以 或 ． 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数 ，利用导数确定单调性后，得出 的解． 2.（2021·全国高三其他模拟（文））已知 是定义在 上的可导函数， 若 ，则实数 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 的大小由实数 决定 【答案】A 【分析】 根据 ，构造函数 ，利用导数判断 的单调性，即可比较 的大小. 【详解】 令 ， 所以函数 在 上单调递增. 又知 所以 则 ， 所以 化简得 ， 即 ， 故选:A. 【点睛】 利用单调性比较大小： （1）指、对数构造函数比较大小； （2）抽象（复合）函数利用单调性比较大小； （3）利用同构结构，构造新函数比较大小. 3.（2021·全国高三专题练习）已知数列 满足 （ ），