专题05 配方法、配凑法-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题05 配方法、配凑法 【方法指导】 配方法:将问题看成某个变量的二次式,并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和配的形式,以达到发现和研究问题性质的效果.此方法在解二次函数的有关问题及化简曲线方程中经常用到. 配凑法:为解答某些数学问题,常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式,凑成某一合适的形式,以使问题迅速解决,我们称这类解题技巧为配凑法.当题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时,常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决. 【例题解读】 【典例1】（2020年天津市高考数学试卷 ）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】 【分析】 可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值. 【详解】 ， ， ， ， 解得 ， 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ， , ∵ ，∴ 的坐标为 , ∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ）， ， ， ， 所以，当 时， 取得最小值 . 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 【典例2】 已知 ，则 的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法，求得 的表达式. 【详解】由于 ， 所以 . 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题. 【小结】对于已知 ，求函数f(x)解析式的类型，解题时可用配凑法求解．配凑法就是说通过配方法、填项去项等措施对 进行变换，最终配凑出 ，然后求出 。 【典例3】（四省名校2021届高三第三次大联考数学（文）试题）已知函数 ，则下列关于函数 的说法中，正确的个数是（ ） ① 是 的周期； ② 是偶函数； ③ 的图像关于直线 对称； ④ 的最小值是 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】 根据函数解析式一一代入验证即可判断①②③，对函数求导，利用导数判断④； 【详解】 解： ①正确； ②错误； ， ③错误； 令 . 解得 或 · 当 即 时， 有最小值﹐最小值为 . ④正确. 故选： . 【典例4】（四川省成都市2021届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，点 ．则当 取最大值时， 的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出抛物线上的一点，由焦半径公式写出 ，得出 的表达式，再利用基本不等式求出最值，从而得到 . 【详解】 为抛物线 的焦点， ，准线为 ，设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 由基本不等式由 ，当且仅当 时取等号 故 ，当且仅当 时取等号 此时 故选：C 【点睛】 焦半径公式如下： 抛物线 的焦点为F， 为抛物线上的一点，则 . 【专题训练】 一、单选题 1．（2020·江西高一其他模拟）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 方法一：令 ，解得 ． ∴ ．选B． 方法二：∵ ， ∴ ． ∴ ．选B． 2．（2021·山西晋中市·高三二模（文））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先利用正弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简计算得出 的值，然后利用正切的二倍角公式计算即可得解. 【详解】 因为 ， 所以 ，从而可得 . 故选：A． 3．（2020·甘肃张掖市第二中学高三月考（文））已知 ，则函数 的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵ ，∴ ． 由 解得 或 ，故排除B． ∵ ，∴函数为奇函数，排除C． 又 ，故排除D． 综上选A． 4．（2021·全国高三其他模拟）已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由余弦的二倍角公式转化已知式为关于 的方程，解得 后再求得 ，从而可得 ． 【详解】 由 得 ， 即 ，解得 或 （舍）． 因为 ， 所以 ，所以 ． 故选：A． 5．（2021·山西高三一模（理））已知 ，且 ，则 的最小值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】 根据题意，化简 ,结合基本不等式，即可求解. 【详解】 因为 ，且 ， 所以 , 由 ，可得 ，所以 ， 代入 ，得解得 ， 又因为 ，所以 ．此时“等号”成立， 故所求最小值为8． 故选：A. 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要