专题02 消元法-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题02 消元法 【方法指导】 消元法是指将许多关系式中的若干个元素，通过有限次地变换消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法.消元法属于化归（转化）思想的范畴，是实施化归思想的重要方式和策略，广泛应用在函数与方程、不等式、数列、三角与向量、解析几何等数学问题的解决过程中。 学习和掌握消元法，不但对巩固基础知识、提高解题能力有重要作用，而且有利于培养思维能力、积淀数学素养. 中学阶段常用的消元法有三类：一类是直接消元。比如运算消元法、公式消元法等；第二类是间接消元。比如参数（换元）消元法等。第三类是综合消元。 1、直接消元法：在高中数学解题的过程中，和谐统一是化归的大方向。所以将条件和结论中诸多不同的元，通过加减乘除等运算方式或者已有的公式直接消元，达到化简和计算的结果。 2、间接消元法：相对于直接消元法而言，间接消元法更注重整体把握，需要借助换元或引入参数来达到消元的目的。 用消元法解题时应注意以下几点: (1)把条件写成几个等式,并排列在一起进行比较,如果有一种量的数相同,就很容易把这种量消去; (2)如果两种量的数都不相同,可以用一个数去乘等式的两边,使其中的一个量的数相同,然后消去这个量; (3)解答后,可以把结果代入由条件列出的每一个等式中计算,检验是否符合题意. 【例题解读】 【典例1】 （2021·山东青岛市·高三一模）已知 为奇函数，为偶函数，若当 时， ，则 （ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】 由 得 ， 为偶函数得 关于 对称，故周期为4，则问题可解． 【详解】 为奇函数， 且 关于原点对称① ∵ 时 ，∴ ，∴ ∴ 时 ， ∵ 为偶函数关于 轴对称． 则 关于 对称② 由①②可知 ∴ ，∴ ． ∴ ， ∴ 周期为4， ， 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：根据函数的对称性来求周期是本题的关键点． 【典例2】 （2021·河南焦作市·高三二模（理））在 中，内角 ， ， 的对边 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 已知等式变形后由正弦定理化角为边，结合三角形周长，三边成等差数列可求得 ，再由余弦定理求得 ． 【详解】 ∵ EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ， 由正弦定理得 ， 又 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，即 ， 由 ，解得 ． ． 故选：B． 【点睛】 本题考查解三角形，解题方法是利用正弦定理化角为边，然后求得三边长，再用余弦定理计算．解题关键是用正弦定理化角为边． 【典例3】（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数 满足 ，则 的最小值是________． 【答案】 【分析】 由 可得 可求出 的范围，由 可得 代入所求式子，利用基本不等式即可求最值. 【详解】 由 可得 ， 所以 ， 由 得 可得 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 即 ， 时等号成立， 所以 的最小值是 ， 故答案为： . 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【典例4】（2021·山西高三一模（理））已知抛物线 的焦点为F，点 ，过点F的直线与此抛物线交于 两点，若 ，且 ，则 ___________． 【答案】6 【分析】 设 的方程为 ，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得 ，故 ，根据 求得 ，进而求得 ，从而求得 ，利用 列方程，解方程求得 的值. 【详解】 设 的方程为 ， 则由 得 ， ， ，又 为锐角， ． 不妨设 ，如图，作 轴，垂足为H，过M作直线 轴， ，垂足为 ，则 ， ， ，故 ． 故答案为：6 【点睛】 直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式. 【专题训练】 一、单选题 1．（2020·全国高三其他模拟（理））设函数 ， 均是定义在 上的偶函数和奇函数，且满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据奇偶性函数定义域关于原点对称可求出 ，再根据奇偶函数的性质列出方程组，即可求出 的解析式，即可求出 . 【详解】 ∵函数 ， 均是定义域为 的偶函数和奇函数， 即有 ，解得 ， ∵ ， 有 ， 解得 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性，考