专题03 参数分离法-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题03 分离参数法 【方法指导】 对于一些不等式恒成立、已知函数单调性求参数取值范围问题都可以通过分离参数，然后构造函数，转化求函数最值问题，对于方程根的个数问题、函数零点个数问题可以通过分离参数，然后构造函数，转化求研究函数交点个数问题，故从分离参数角度来说这类问题属于多题一解。 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。 分离参数法基本步骤： 第一步：对待含参数的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步：先求出含变量一边的式子的最值； 第三步：由此推出参数的取值范围即可得出结论。 分离参数法有以下几种类型： 常规法分离参数：所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。 倒数法分离参数：对于用常规法 能分离参数，得 ，但如果 有零点， 则函数 有铅锤渐近线，对于学生来说， 就不容易求出函数 的值域，怎么办？此时应该注意到如果 恒成立， 则对于 ，可这样分离 ，求函数的值域就容易多了（因为其图象是连续的曲线）。这种分离参数的方法， 我们就称为倒数法分离参数。 分类法分离参数：对于形如 的不等式如果 的符号不确定，要分离参数，需要根据 的符号分类讨论。 换元法分离参数：有时参数含在复合函数中，直接分离行不通，可通过换元，再分离参数。 【例题解读】 【典例1】 （2021·全国高三其他模拟）已知 ， 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 不等式 等价于 ，分类讨论 ， 和 ，分别求出实数 的取值范围，最后取交集即可. 【详解】 易知 ，不等式 ，即 . 当 时， ， ，则 ，又 ，所以 ； 当 时， ，对任意的实数 ，不等式恒成立； 当 时， ， ，则 ，又 ，所以 ； 综上，实数 的取值范围为 . 故选：D 【点睛】 方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值 或 恒成立. 【典例2】 （2021·浙江高三其他模拟）已知函数 满足 ，且曲线 在 处的切线方程为 ． （1）求 ， ， 的值； （2）设函数 ，若 在 上恒成立，求 的最大值． 【答案】（1） ， ， ；（2）3. 【分析】 （1）解方程组 即得解； （2）等价于 在 上恒成立，利用导数求出 即得解. 【详解】 解：（1）由已知得 ， 且函数 的图象过点 ， ， 则 解得 ， ， ． （2）由（1）得 ． 若 在 上恒成立， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 因为 ，所以 ，从而可得 在 上恒成立． 令 ，则 ， 令 ，则 恒成立， 在 上为增函数． 又 ， ， 所以存在 ，使得 ，得 ，且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．则 ． 又 ，所以 ，代入上式，得 ． 又 ，所以 ． 因为 ，且 ，所以 ，故 的最大值为3． 【点睛】 方法点睛：“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键； 第三步：将零点方程 适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 【典例3】（2021·贵溪市实验中学高三一模）已知二次函数 的最小值