专题4.23 三角形全等-几何模型5（一线三等角）（专项练习）-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.23 三角形全等-几何模型5（一线三等角）（专项练习） 模型 三垂直全等模型 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 一、解答题 1．如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ． （1）求证：≌； （2）若CD＝10，求的面积． 2．已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC． （1）求证:△ABP≌△PDC （2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长． 3．如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，求证：． 4．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S，N，Q，MS＝PS，SN＝4，MN＝3．求NQ的长． 5．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由； （3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是　 ． 6．如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 7．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离． 8．已知：，，，． （1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论． （2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． （3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． 9．如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长． 10．如图所示，，，三点在同一直线上，且． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，？ 11．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE． （1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝CE，AC＝CD．判断AC和CD的关系并说明理由． 13．直线CD经过的顶点C，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且． （1）（数学思考）若直线CD经过的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，当与之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． （2）（问题拓展）如图3，若直线CD经过的外部，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 14．如图，已知在中，，，别过、两点向过的直线作垂线，垂足分别为、．求证：． 15．在中，，，，点在上，且，过点作射线（与在同侧），若点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连结、． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当于点时，求此时的值． 16．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线EF经过点C，BF⊥EF于点F，AE⊥EF于点E． （1）求证：△ACE≌△CBF； （2）如果AE长12cm，BF长5cm，求EF的长． 17．如图，，，，，垂足分别为，，，求，求的长． 18．已知AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在线段AB上，DC⊥EC，且DC=CE． （1）求证：AD+BE=AB； （2）将△BEC绕点C逆时针旋转，使点B落在AC上，如图（2），试问：AD，BE，AB又怎样的数量关系？说明理由． 19．如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于． （1）求证：； （2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明． （3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明； （4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系． 20．如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．若的长为5，求的长． 21．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E． (1) 如图(1)，求证：DE＝BD＋CE； (2) 若直线l绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图