2021届重庆市九龙坡区高三下学期4月份二诊数学试卷(扫描版，含答案及评分标准)

$高2021届高三学业质量调研抽测（第二次） 数学参考答案及评分意见 一、选择题：1-4 C D D C 5-8： B A B C 二、选择题：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. B D 10. A B D 11. B C D 12. C D 三、填空题： 13. 135； 14. 5； 15. ， ； 16. （答 也对，两个都答也对) 四、解答题： 17.解：选择条件①： （Ⅰ）由 得： , ……3分 ∵ ∴ ，∵ ∴ ……………………4分 ∵ , 的面积为 ， ∴ ，∴ ………………………5分 ∵ ，即 . ………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得 , ∴ ……………7分 ∴ ………………………8分 ∴ ∴ .…………………………………………………………………………10分 选择条件②： （Ⅰ）由 得 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ………………3分 ∵ ∴ 即 ……………………………………4分 ∵ , 的面积为 ， ∴ ， ∴ …………………………5分 ∴ ，即 . …………………………………6分 （Ⅱ）同选择条件①. 选择条件③： （Ⅰ）由 得： ∵ , ∴ ,……………………………………………3分 即 ，∵ ，∴ …………………………………………4分 ∵ , 的面积为 ， ∴ ，∴ ……………………………5分 ∴ ，即 . ……………………………………6分 （Ⅱ）同选择条件①. 18. Ⅰ ∵ ，∴ ， ∴ ，即 …………………………2分 当 时， ∴ …………………………………………………5分 当 时， ，符合上述通项，所以 ………………6分 （Ⅱ）∵ ， ……………………………………8分 ∴ ． ………………………………12分 19.解（Ⅰ）由频率分布直方图知，优质产品的频率为 ， 则样本中，优质产品的件数为120件，列联表如下表所示： 优质产品 非优质产品 合计 甲工艺 65 35 100 乙工艺 55 45 100 合计 120 80 200 …………………………………………………………………………2分 可得 ．……………………4分 ∴没有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关． ………………………………5分 （Ⅱ）由频率分布直方图得优质产品的频率为 ，即概率为 ， 设所抽取的产品为优质产品的件数为 ，则 ， ； ； ； ； ． 其分布列为： ……………………………………………………………………………………………10分 ∴所抽取的产品为优质产品的数学期望 ．……………………………12分 20．（Ⅰ）证明：∵ ， ， 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ， …………………2分 由已知得 EMBED Equation.3 为二面角 的平面角，∴ EMBED Equation.3 ， ∵ ，∴ 为正三角形，又 ，∴ , ∵ , ∴ 平面 ， ∵ 平面 ∴ ………………………………………4分 在正方形 中， 为 中点， 为 的中点，则 ≌ , ∴ ∴ ， ∴ ，∴直线 平面 . ………………………………………6分 （Ⅱ） 作 EMBED Equation.DSMT4 ，交 于点 ，由于 、 及 相互垂直， ∴以 为坐标原点，以 为 轴、 为 轴、 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 ， 由（Ⅰ）知 平面 ， ∴平面 的一个法向量为 ， ………………………………8分 在平面 中， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，令 可得 ，…10分 ∴ ， ∴二面角 的正弦值为 . ………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）设 ， ， ，由 得 ， 又 ，且 ，解得 ， . ∴椭圆 的方程为 .……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线 的斜率存在且不为 ，设直线 方程为 ， 设点 ，联立 ，得 ， ∴ ， ， ， ∵ ，所以 ………………………………7分 ∵ 在椭圆上，所以 ， 化简得 ，满足 ，……………………………………………8分 又因为直线 与直线 倾斜角互补，已知 ， ∴ ，即 ，所以 ， ∴ ，所以 ， ∵ ，∴ ，…………………………………………………………10分 代入 得 ， ∴直线 的方程为 或 .………………………12分 22.解：（Ⅰ）∵ ， ，∴ ， ……………………1分 由已知 ，即