陕西省渭南市2021年高三教学质量检测（Ⅱ）数学试题（理科）2021.4.17（PDF版）

$ 理科数学试题答案　 第 １　　　　 页　 (共 ６ 页) 渭南市 ２０２１ 年高三教学质量检测 (Ⅱ) 理科数学试题参考答案 一、选择题(每小题 ５ 分ꎬ共 ６０ 分) 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ａ 二、填空题(每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分) １３. π３ 　 　 １４. ２　 　 １５. ①②(第 １５ 题阅卷说明:全部选对的得 ５ 分ꎬ选对但不全的得 ３ 分ꎬ 有选错的得 ０ 分) 　 　 １６. π３ . 三、解答题(共 ７０ 分) １７. 解:(Ⅰ)由ａ － ｂ ＋ ｃｃ ＝ ｂ ａ ＋ ｂ － ｃ化简得 ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ ｂｃ. (２ 分)…………………………… 由余弦定理 ｃｏｓＡ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ 得 ｃｏｓＡ ＝ ｂｃ ２ｂｃ ＝ １ ２ (４ 分)…………………………………… 又因为 ０ < Ａ < πꎬ 所以 Ａ ＝ π３ . (６ 分)……………………………………………………… (Ⅱ)由正弦定理得 ａｓｉｎＡ ＝ ２Ｒ⇒ａ ＝ ２ＲｓｉｎＡ ＝ ２ｓｉｎ π ３ ＝ ３ (８ 分)…………………………… 所以 ３ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ｂｃ≥２ｂｃ － ｂｃ ＝ ｂｃꎬ(当且仅当 ｂ ＝ ｃ 时取等号) (１０ 分)………………… 故 Ｓ ＝ １２ ｂｃｓｉｎＡ≤ １ ２ ×３ × ３ ２ ＝ ３ ３ ４ (ｂ ＝ ｃ 时取等号) . 即△ＡＢＣ 面积 Ｓ 的最大值为３ ３４ . (１２ 分)………………………………………………… 理科数学试题答案　 第 ２　　　　 页　 (共 ６ 页) １８. 证明:(Ⅰ)连接 ＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｎ. 连接 ＭＮ. 因为四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ所以 Ｎ 为 ＡＣ 的中点 由于 Ｍ 为 ＡＥ 的中点ꎬ所以 ＭＮ∥ＣＥ 又因为 ＭＮ⊈平面 ＣＥＦꎬＣＥ⊆平面 ＣＥＦ 所以 ＭＮ∥平面 ＣＥＦ (２ 分)………………………………………………………………… 易知 ＢＮ∥ＥＦꎬＢＮ⊈平面 ＣＥＦꎬＥＦ⊆平面 ＣＥＦ 所以 ＢＮ∥平面 ＣＥＦ (４ 分)………………………………………………………………… 因为 ＭＮ∩ＢＮ ＝ ＮꎬＢＮ⊆平面 ＢＭＮꎬＭＮ⊆平面 ＢＭＮ 所以平面 ＢＭＮ∥平面 ＣＥＦ. 又因为 ＢＭ⊆平面 ＢＭＮ 所以 ＢＭ∥平面 ＥＦＣ (６ 分)………………………………………………………………… 解:(Ⅱ)以 Ｄ 为原点建系如图. 则ＤＭ→ ＝ ( １２ ꎬ０ꎬ １ ２ )ꎬＤＢ → ＝ (１ꎬ１ꎬ０) 设平面 ＢＤＭ 的法向量为ｍ → ＝ (ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则有 ｘ ２ ＋ ｚ ２ ＝ ０ ｘ ＋ ｙ ＝ ０ ì î í ï ï ïï . 令 ｘ ＝ １ꎬ得ｍ → ＝ (１ꎬ － １ꎬ － １) (９ 分) … …………………………………………………………………………………… 由于 ＤＥ⊥平面 ＡＢＤꎬ所以取平面 ＡＢＤ 的法向量为 ｍ → ＝ (０ꎬ０ꎬ１) 则 ｃｏｓ <ｍ → ꎬｎ → > ＝ ｍ → 􀅰ｎ → ｜ｍ → ｜ ｜ ｎ → ｜ ＝ － １ １ × ３ ＝ － ３３ (１１ 分)………………………………………… 所以 ｓｉｎ <ｍ → ꎬｎ → > ＝ １ － ｃｏｓ２ < 􀭽ｍꎬ􀭸ｎ > ＝ ６３ ꎬ 则二面角 Ｍ － ＢＤ － Ａ 的正弦值为 ６３ . (１２ 分)……………………………………………… １９. 解:(Ⅰ)当 ａ ＝ ２ 时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｘ２ － ２ｌｎｘ(ｘ > ０) (２ 分)……………………………………… 理科数学试题答案　 第 ３　　　　 页　 (共 ６ 页) 因为 ｆ′(ｘ) ＝ ２ｘ － ２ｘ ＝ ２(ｘ２ － １) ｘ . 所以令 ｆ′(ｘ) > ０ 得:ｘ > １ꎻ令 ｆ′(ｘ) < ０ 得:０ < ｘ < １ (４ 分) … …………………………………………………………………………………… 所以函数 ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎻ在(１ꎬ ＋ ∞ )上单调递增. (５ 分)…………………… (Ⅱ) ｆ(ｘ) > ｘ２ － ｅｘ ＋ ａ 即 ｅｘ > ａ(１ ＋ ｌｎｘ)ꎬ因为 ｘ∈( １ｅ ꎬ ＋ ∞ )ꎬ所以 １ ＋ ｌｎｘ > ０ꎬ 所以当 ａ > ０ 时ꎬ对任意的 ｘ∈( １ｅ ꎬ ＋ ∞ )ꎬａ < ｅｘ １ ＋ ｌｎｘ恒成立. (６ 分)…………………… 令 ｇ(ｘ) ＝ ｅ ｘ １ ＋ ｌｎｘꎬ则 ｇ′(ｘ) ＝ ｅｘ(１ ＋ ｌｎｘ － １ｘ ) (１ ＋ ｌｎｘ) ２ (８ 分)……………………………………… 令 ｈ(ｘ) ＝ １ ＋ ｌｎｘ