2021届上海市普陀区高考二模数学试卷

普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研 2021.4 考生注意: 1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集 EMBED Equation.3 ，若集合 ，则 . 2. 若复数 （ 表示虚数单位），则 . 3. 函数 的零点为 . 4. 曲线 的顶点到其准线的距离为 . 5. 若 ，则 . 6. 设棱长为 的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 7. 设 EMBED Equation.3 ，则 . 8. 设无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则公比 . 9. 设 、 均为非负实数且满足 ，则 的最小值为 . 10. 某学校从 名男生、 名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这 名宣讲员中男、女生各 人的概率为 （结果用最简分数表示）. 11. 设 是直线 上的动点，若 ，则 的最大值为 . 12. 如图，在△ 中， ， ， . 若 为△ 内部的点且满足 ，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设 、 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是（ ） 14. 设 ，则双曲线 的焦点坐标是（ ） 15. 设 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则“ ”的一个充分非必要条件是（ ） EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 且 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，且 ， 且 ， ，且 16. 已知函数 ，设 （ ）为实数，且 . 给出下列结论： 若 ，则 ； 若 ，则 . 其中正确的是（ ） ①与②均正确 ①正确，②不正确 ①不正确，②正确 ①与②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，设底面半径为 的圆锥的顶点、底面中心依次为 、 ， 为其底面的直径. 点 位于底面圆周上，且 . 异面直线 与 所成角的大小为 . （1）求此圆锥的体积； （2）求二面角 的大小（结果用反三角函数值表示）. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数 （ ）的反函数为 . （1）解方程： ； （2）设 是定义在 上且以 为周期的奇函数.当 时， ，试求 的值. 19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为 （ ）， 米， ， 为对角线 和 的交点.他以 、 为圆心分别画圆弧，一段弧与 相交于 、另一段弧与 相交于 ，这两段弧恰与 均相交于 .设 . （1）若两段圆弧组成“甬路” （宽度忽略不计），求 的长（结果精确到 米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为 ，其余区域的面积为 .对于条件（1）中的 ，当 时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知曲线 : 的左、右焦点分别为 、 ，直线 经过 且与 相交于 、 两点. （1）求△ 的周长； （2）若以 为圆心的圆截 轴所得的弦长为 ，且 与圆 相切，求 的方程； （3）设 的一个方向向量 ，在 轴上是否存在一点 ，使得 且 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分18分，第