8.6.2 直线与平面的垂直的性质2课时-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）

8.6.2直线与平面垂直的性质 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2.会求直线到平面的距离 【自主学习】 知识点1 直线与平面垂直的性质定理 1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．简记为：若线面垂直，则线线平行． 2．符号语言：⇒b∥a. 3．图形语言： 知识点2 直线到平面的距离 1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点这个到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【合作探究】 探究一 线面垂直性质定理的应用 【例1】如图，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. [分析]　要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C. [证明]　如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以AC⊥平面BDD1. 又BD1⊂平面BDD1， 所以AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C. 又AC∩B1C＝C， 所以BD1⊥平面AB1C. 因为EF⊥AC，EF⊥A1D， 又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C. 又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C. 所以EF∥BD1. 归纳总结：若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质 【练习1】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝. 证明：A1C⊥平面BB1D1D. 证明：因为A1O⊥平面ABCD， 所以A1O⊥BD. 又底面ABCD是正方形， 所以BD⊥AC，因为AC∩A1O＝O， 所以BD⊥平面A1OC，所以BD⊥A1C， 又OA1是AC的中垂线， 所以A1A＝A1C＝，且AC＝2， 所以AC2＝AA＋A1C2， 所以△AA1C是直角三角形， 所以AA1⊥A1C， 又BB1∥AA1，所以A1C⊥BB1，因为BB1∩BD＝B， 所以A1C⊥平面BB1D1D. 探究二 直线到平面的距离 【例2】正方体ABCD­A1B1C1C1，棱长为a，求： (1)直线A1A到平面B1BCC1的距离； (2)直线A1A到平面D1DBB1的距离． [解]　(1)∵A1A∥平面B1BCC1， ∵A1B1⊥平面B1BCC1， ∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长， ∵A1B1＝a， ∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a. (2)连接A1C1，B1D1，BD，A1C1与B1D1交于点O1，如图．A1A∥平面D1DBB1. ∵A1O1⊥平面D1DBB1， ∴直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O 归纳总结：求直线到平面的距离，前提是该直线和平面平行，在该直线上合理找点，过该点作出平面的垂线，即将线面距离转化为点面距离 【练习2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1. (1)证明：直线BC1平行于平面D1AC； (2)求直线BC1到平面D1AC的距离． 解：(1)证明：因为ABCD­A1B1C1D1为长方体， 故AB∥C1D1，AB＝C1D1， 故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面D1AC. (2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h， 考虑三棱锥D1­ABC的体积，以平面ABC为底面，可得 V＝×(×1×2)×1＝， 而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，故S△AD1C＝×××＝. 所以，V＝××h＝，故h＝， 即直线BC1到平面D1AC的距离为. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．下列命题： ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中正确的个数是(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【答案】D 解析：①②③均正确． 2．在空间中，下列命题中正确的是(　　) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一