江西省赣县第三中学2020-2021学年高二下学期期中适应性考试数学（理）试卷

2020-2021学年下学期高二期中适应性考数学（理科）试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设 为虚数单位，复数满足 ，则 　　 A．1 B． C．2 D． 2．利用反证法证明：若 ，则 ，假设为(　　) A． 都不为0 B． 不都为0 C． 都不为0，且 D． 至少有一个为0 3．已知函数 在 处取得极值10，则 （ ） A． 或 B． 或 C． D． 4．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形 的边 ， ， ， 的中点，用 表示 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．函数 的图像大致为 (　　) A． B． ．D． 6．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为 ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图 )，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图 )，半椭球面方程为 ，该建筑设计图纸的比例(长度比)为 (单位： )，则该建筑的占地面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线 交椭圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．如图在底圆半径和高均为 的圆锥中， 、 是过底圆圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于（ ）． A． B．1 C． D． 11．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．正四面体 的棱长为1，点 是该正四面体内切球球面上的动点，当 取得最小值时，点 到 的距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 14． ____． 15．已知直线 是曲线 的一条切线，则 的取值范围是_________. 16．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 过点 ，且与 交于 ， 两点，若 （ 是坐标原点），则 ______. 三、解答题 17．观察下列等式： ．．．．．． 按照以上式子的规律： （1）写出第5个等式，并猜想第 个等式； （2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立． 18．已知函数 ， . （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围. 19．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上. （1）求抛物线 的方程; （2）直线 过点 交抛物线于 两点，过点 作抛物线 的切线与准线交于点 ，求 面积的最小值. 20．如图，已知五面体 ，其中 内接于圆 ， 是圆 的直径，四边形 为平行四边形，且 平面 ． （1）证明： 平面 平面 ； （2）若 ， ，且二面角 所成角 的余弦值为 ，试求该几何体 的体积． 21．椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标. 22．设 ， ． （Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； （Ⅱ）如果对于任意的 都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 2020-2021学年下学期高二期中适应性考数学（理科）参考答案 1．B2．B3．D4．A5．B6．D7．D8．A9．C10．A 如图所示，过点 做 ，垂足为 ． ∵ 是母线 的中点，圆锥的底面半径和高均为 ， ∴ ．∴ ．在平面 内建立直角坐标系如图． 设抛物线的方程为 ， 为抛物线的焦点． ，所以 ，解得 ， 即 ， ， ， 该抛物线的焦点 到圆锥顶点 的距离为 ， 11．D设 ， ， 由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当 时， ；当 时， . 所以，函数 的最小值为 . 又 ， . 直线 恒过定点 且斜率为 ， 故 且 ，解