预测07 数列-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】

预测07 数 列 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题与填空题☆☆☆☆ 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 2021年高考仍将考查： 1、 等差数列与等比数列定义、性质、前 项和公式。 2、 考查由递推公式求通项公式与已知前 项和或前 项和与第 项的关系式求通项为重点，特别是数列前 项和 与 关系的应用。 1、等差数列与等比数列定义、性质、前 项和公式。 2、考查由递推公式求通项公式与已知前 项和或前 项和与第 项的关系式求通项为重点，特别是数列前 项和 与 关系的应用。 3、运算错位相减法或者裂项相消法以及分组求和求数列的和 4、数列与不等式等知识点的结合 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 等差数列 1、定义：数列 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 是等差数列，这个常数称为 的公差，通常用 表示 2、等差数列的通项公式： ，此通项公式存在以下几种变形： （1） ，其中 ：已知数列中的某项 和公差即可求出通项公式 （2） ：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3） ：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果 成等差数列，则 称为 的等差中项 （1）等差中项的性质：若 为 的等差中项，则有 即 （2）如果 为等差数列，则 ， 均为 的等差中项 （3）如果 为等差数列，则 4、等差数列通项公式与函数的关系： ，所以该通项公式可看作 关于 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。 5、等差数列前 项和公式： ，此公式可有以下变形： （1）由 可得： ，作用：在求等差数列前 项和时，不一定必须已知 ，只需已知序数和为 的两项即可 （2）由通项公式 可得： 作用：① 这个公式也是计算等差数列前 项和的主流公式 ② ，即 是关于项数 的二次函数 ，且不含常数项，可记为 的形式。从而可将 的变化规律图像化。 （3）当 时， 因为 而 是 的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当 时 ，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前 项和公式入手分析 等比数列 1、定义：数列 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数 ，则称 为等比数列，这个常数 称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为 的等比数列，而常数列 只是等差数列 2、等比数列通项公式： ，也可以为： 3、等比中项：若 成等比数列，则 称为 的等比中项 （1）若 为 的等比中项，则有 （2）若 为等比数列，则 ， 均为 的等比中项 （3）若 为等比数列，则有 4、等比数列前 项和公式：设数列 的前 项和为 当 时，则 为常数列，所以 当 时，则 可变形为： ，设 ，可得： 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列 ，则有 ① 数列 （ 为常数）为等比数列 ② 数列 （ 为常数）为等比数列，特别的，当 时，即 为等比数列 ③ 数列 为等比数列 ④ 数列 为等比数列 6、等比数列的判定：（假设 不是常数列） （1）定义法（递推公式）： （2）通项公式： （指数类函数） （3）前 项和公式： 数列的求和的方法 （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）错位相减法： 通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消： 的表达式能够拆成形如 的形式（ ），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 （5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和 （1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求