一类分式不等式的证法

一类分式不等式的证法 一．应用含参数的柯西不等式 含参数的柯西不等式： 其中 利用此不等式证明数学竞赛中某些难度较大的分式不等式，只要恰当地选取 和 ，问题好即可获证，这种方法简捷明快，易于操作。 例1． 设 ，且满足 。求证 证明： 令 ，则 则 类似地可以证明： 1．设 ，求证： 2．设正数 的和为1，求证： 3．设 ，且 ，求证： 4．设 且 ，求证： 例2．设 ，且 ，求证： 解：因为 所以原不等式等价于 。 令 ，则： ，又 所以 1．已知 ，求证： 2．若 ，且 ，求证： 3．设正数 ，其和为 ，求证： 证明： 令 ，则： ，又 4．若 同号，且 ，求证： 5．设 ，且 ，求证： 例3．已知 为互不相同的正整数，求证：对任何正整数 ，不等式 成立。 证明： ， 令 ，则 ，所以 。 例4．设 为正实数，且满足 ，试证： 证明：原不等式等价于 因 令 ，则 所以 故原不等式成立。 另证：因 ，所以令 ，则 故 例5．设 是满足 的正实数，试证： 证明： 令 由均值不等式可知： 所以 另证：令 则 而 故 类似地可以证明： 1．设 为锐角，且 ，则 2．若 ，且 ，求证： 二．构造对偶式 在数学竞赛和数学问题研究中，常常要证明分式不等式，发现若给原分式P配上恰当的对偶式Q，则产生简捷明快的证法。 1．循环配对 循环配对是将原分式P的分子或分母作循环变换后而生成的新的对偶分式Q。 例1．已知 ，试证： 证明：令 ， ，则 故 例2．已知 ，求证： 证明：令 ， ， ，则 ，同理 ，则 ，故 2．简化配对 简化配对是将原分式 的分子简化而生成的配对分式 。 例3．设 ，且 ，求证： 证明：令 ， ，则 而 ，故 例4．设 ，且 ， ，求证： 证明： ，则 而 故 3．取整配对 取整配对是将原分式的取分母的倒数，再添上恰当的系数或变元而生成的对偶分式。 例5．设正数 的和为1，求证： 证明：令 则 而 故 三．运用等