2021届上海市虹口区高三二模数学试卷

虹口区2020学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学　试 卷　　 　 （时间120分钟，满分150分） 2021.4 一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1．已知集合 ， ，则 ． 2． _____________. 3．在 的二项展开式中，常数项是 ． 4．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于 ． 5．给出下列命题： ①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行； ③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中所有正确命题的序号为　 ． 6．已知 为抛物线 上一点，点 到抛物线 的焦点的距离为7，到 轴的距离为5，则 　 　． 7．若 ，则 的值等于　 　（用 表示）． 8．设函数 的定义域为 .若对于 内的任意 , EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，都有 ，则称函数 为“Z函数”.有下列函数：① ；② ；③ ；④ .其中“Z函数”的序号是 　（写出所有的正确序号） 9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于 ( )．若该三棱柱的所有顶点都在球 的表面上，则球 的体积等于________( ). 10．在平面直角坐标系 中，定义 ， 两点的折线距离 .设点 ， ， ， ，若 ，则 的取值范围 ． 11．已知 为圆 的一条直径，点 的坐标满足不等式组 ，则 的取值范围是 ． 12．在数列 中，对任意 ， ，当且仅当 ，若满足 ，则 的最小值为_______. 二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．双曲线 的两条渐近线的夹角的大小等于……………………（ ） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 14．已知函数 ，则“ ”是“ 为偶函数”的（ ）条件 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件 15．复数 满足 ，且使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的个数为…………（ ） 1个 2个 3个 4个 16．在平面上，已知定点 ，动点 ．当 在区间 上变化时，动线段 所形成图形的面积为……………………（ ）． EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 三．解答题（本大题满分76分） 17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 在三棱锥 中， ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小． 18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 设 且 ， ，已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解； （2）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围． 19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.） 如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ， 长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中 、 、 分别在 、 、 上．设 . 若 ，求 的边长； （2）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值. 20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知椭圆 的方程为 . 设 是椭圆 上的点，证明：直线 与椭圆 有且只有一个公共点； （2）过点 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为 、 ，点 在直线 上的射影为点 ，求点 的坐标； （3）互相垂直的两条直线 与 相交于点 ，且 、 都与椭圆 只有一个公共点，求点 的轨迹方程． 21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）. 若数列 满足“对任意正整数 ， ， ，都存在正整数 ，使得 ”，则称数列 具有“性质 ”． （1）判断各项均等于 的常数列是否具有“性质 ”，并说明理由； （