2021届上海市徐汇区高三二模数学试卷

2020学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 　 　 2021.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．集合，，则= ． 2．已知函数 ，则方程的解= _____________． 3．等比数列（）中，若，，则 . 4．若方程的两个根为和，则 ． 5．函数的 部分图像如右图所示，则 ． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ． 7. 在二项式的展开式中，的系数为，则的值是__________. 8．已知正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若， ,则、两点间的球面距离是 . 9． 在中，已知，，若，则的最小值是 . 10．已知三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是 . (结果用分数表示) 11．在中，，，与交于点，， ，则= （用、表示）. 12．已知实数使得不等式对任意都成立，在平面直角坐标系中，点形成的区域记为. 若圆上的任一点都在中，则的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设且，，则是成立的-----------------------------（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14． 设、为复数，下列命题一定成立的是----------------------------（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，是正实数，那么 15．若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是 偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增； ④反函数存在且在上单调递增．其中正确结论的个数为----（ ） A．1　 　　　　 　B．2　　　　　　　 C．3　　　　　 　 D．4 16．已知是公差为的等差数列，若存在实数满足方程组 则的最小值为----------------（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 如图，在直三棱柱中，，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）若是棱的中点.求点到平面的距离. 18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知函数. （1） 若，求函数的零点； （2） 针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性. 19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 元宵节是中国的传统节日之一. 要将一个上底为正方形的长方体状花灯挂起，将两根等长(长度大于两点距离)的绳子两头分别拴住；，再用一根绳子与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图. 花灯上底面到天花板的距离设计为米，上底面边长为米，设，所有绳子总长为米. (打结处的绳长忽略不计) (1)将表示成的函数，并指出定义域； (2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长. (精确到米) 20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于、两点，与线段交于点（异于、）. (1)当且时，求直线的方程； (2)当时，求四边形面积的取值范围； (3)记直线、、、的斜率依次为、、、. 当且线段的中点在直线上时，计算的值，并证明：. 21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 若数集至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数()，都不能成为等差数列，则称为“集”. (1)判断集合()是否是集？说明理由； (2)已知. 集合是集合的一个子集，设集合，求证：若是集，则也是集； (3)设集合，判断集合是否是集，证明你的结论. 2020学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 　 　 2021.4 1． 填空题：（本大题共有12题，满分54分