专题13：二次函数压轴题-备战2021年中考数学重难点题型真题专项训练

专题13：二次函数压轴题--备战2021年中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题重组 一、解答题 1．（2020·黑龙江绥化市·）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且． （1）求抛物线的解析式与k的值； （2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长； （3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），k的值为；（2）的长为或10；（3）存在，点G的横坐标为或或或． 【分析】 （1）根据抛物线可求得点C的坐标，代入即可求得t的值，由，求得点N的坐标，进而求得k的值； （2）因为∠AOC=∠EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长； （3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标． 【解答】 （1）当时，， ∴点C的坐标为 (0，4)， ∵点C (0，4)在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵C (0，4)，， ∴， ∴点N的坐标为 (，0)， ∵直线过N (，0)， ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为，k的值为； （2）连接， 令，则, 解得， ∴点A的坐标为 (，0)，点B的坐标为 (4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线． ∴点A的坐标为 (，0)， ∵C (0，4)， ∴，，， ①当时， ， ∴， ∴； ②当时， ， ∴， ∴， 综上，的长为或10； （3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时， 由轴对称性质可知，，，， ∵轴，∴轴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 作轴于点P， 设， 则， ∴， ， ∵， ∴， 令，则，令，则， ∴直线与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N(，0)， ∴OM=3，ON=4， 在中，， ∴， ∴， 解得，，，， 经检验，，，都是所列方程的解， 综上，点G的横坐标为或或或． 【点评】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质及三角函数等，解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题． 2．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． （1）求b的值及点M的坐标； （2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：： （3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）. 【分析】（1）将配方后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值； （2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论； （3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E的坐标. 【解答】（1）∵=， ∴顶点M的坐标为（3，-3）. 令中y=0，得x1=0，x2=6， ∴A（6,0）， 将点A的坐标代入中，得-3+b=0， ∴b=3； （2）∵由平移得来， ∴m=-， ∵过点M(3，-3), ∴，解得n=， ∴平移后的直线CM的解析式为y=-x. 过点D作DH⊥直线y=-x， ∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0， ∴k=-4， ∴直线DH的解析式为y=2x-4. 解方程组，得， ∴H（1，-2）. ∵D(2，0)，H(1，-2)， ∴DH=， ∵M(3，-3)，D（2,0）, ∴DM=， ∴sin∠DMH=， ∴∠DMH=45°， ∵∠ACM+∠DMH=∠ADM， ∴； （3）存在点E， 过点G作GP⊥