专题09：圆综合-备战2021年中考数学重难点题型真题专项训练

专题09：圆综合--备战2021年中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题重组 1．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论； （2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵， ∴∠BOD＝180°＝60°， ∵， ∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD＝AB＝3， ∴AD＝＝3． 【点评】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键． 2．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h． （1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线； （2）求证：AB•AC＝2R•h； （3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2cosα 【解答】解：（1）证明：如图1，连接OD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝， 又∵OD是半径，∴OD⊥BC， ∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线； （2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H， ∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC， 又∵∠AHB＝∠ACF， ∴△ACF∽△AHB， ∴， ∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h； （3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD， ∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD， ∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP， ∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP， ∵DQ＝DP，AD＝AD， ∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP， ∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ， ∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα． （1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 3．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90° ∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD=1，AM=， ∵CD=3， ∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=CD-AM=×3×=， 在Rt△