专题03：解直角三角形及其应用-备战2021年中考数学重难点题型真题专项训练

专题03：解直角三角形及其应用--备战2021年中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题重组 1．（2020·浙江宁波市·中考真题）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°． （1）求车位锁的底盒长BC． （2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07） 【答案】（1）68cm；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， 在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50， ∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34， ∴BC＝2BH＝68cm． （2）在Rt△ABH中， ∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5， ∴36.5＞30， ∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型． 2．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题： （1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？ （2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？ 【答案】（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14千米． 【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D， 在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米， ∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米）， 在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米）， ∴AB＝50+50（千米）， ∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）． 答：从A地到景区B旅游可以少走35千米； （2）设施工队原计划每天修建x千米， 依题意有，﹣＝50， 解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解． 答：施工队原计划每天修建0.14千米． （1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米； （2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 3．（2020·湖南衡阳市·中考真题）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm． 【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可； （2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴． 即OC的长度为12cm． （2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离， ∵OM∥AC，B′E⊥AC， ∴B′E⊥OD， ∵MN∥AC， ∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°， ∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥