2021年小升初奥数22讲-第4讲 估值与取整

第4讲 估值与取整 知识要点 在竞赛中经常会遇到这样一类问题：求一个算式(或问题)的整数值. 如某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师，14个教学班.各班学生人数相同，且不少于30人，不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 解决这个问题的关键是根据题目所给班级学生人数的范围，先求出平均每人捐款钱数的范围，然后再依据其他条件确定所求的整数值. 用估算方法求整数值是一种非常灵活的思想方法，它所涉及的问题面很广泛，常需因题而宜地具体问题具体分析找到合适的思路，当然它的基础仍是运用各种运算法则与技巧进行快速的近似计算.首先估算出(或判断出)问题解所在的数值范围，进而在此范围内依题目的条件确定整数解. 典例精讲 典例1 某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师,14个教学班各班学生人数相同，且不少于30人，不超过45人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 解 依题意有30×14+35=455人≤全校师生总数≤45×14+35=665人， 所以1995÷665=3元≤平均每人捐款数≤1995÷455=元.由于平均每人捐款数应为1995的约数，因为4不是1995的约数而3是1995的约数，所以平均每人捐款3元. 说明 解决此题第一步是依班级人数的范围(30人≤每班人数≤45人)，估计出平均每人捐款的范围(3元≤平均每人捐款范围≤元)，在此范围内的整数有3与4.第二步，由该整数应为1995的约数，排除4得到3. 典例2 有一列数，第1个数是105，第2个数是85，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几? 分析 根据平均数的概念知，该数值介于被求“平均”两数之间，直觉告诉我们，随着 求平均次数的增加，所得平均数值的范围会逐渐变窄，从而其整数部分将逐渐“稳定”. 解 第3个数=(105+85)÷2=95，第4个数=(85+95)÷2=90，第5个数=(95+90)÷2=92.5，第6个数=(90+92.5)÷2=91.25，第7个数=(92.5+91.25)÷2=91.875.至此，从第8个数开始，以后任何一个平均数都在91.25与91.875之间.所以这些数的整数部分都是91，故第19个(平均)数的整数部分为91. 典例3 31.719×1.2798的