2021年小升初奥数22讲-第1讲 数论初步

第1讲 数论初步 知识要点 研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容.要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握解决问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的，本讲主要介绍数的整除和余数问题. 对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使，则称a被b整除，否则就称a不能被b整除，例如：，于是72被8（或9）整除. 性质一 若，，则，这里m，n是任意整数. 性质二 若，且，则. 性质三 若，，且，则. 整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧. 如果两个整数a与b被正整数m除时所得余数相同，即 ， 那么就称a与b关于模m同余，其中p、q、r都是整数，而且. 在解决同余问题时，常把同余问题转化为整除问题来处理. 典例精讲 典例1 某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题，每次出的题数有25题或16题或20题，那么其中考25题的有多少次？ 解 16、20都被4整除，426除以4余2，25除以4余1，因此出25题的次数应当是2、6、10、...，剩下的题数才能被4整除.在出25题的次数为2时，，即，即出16题16次，出20题6次.在出25题的次数为6时，，而，所以这种情况不能发生，出25题的次数当然也不能更多.因此考25题的有2次. 典例2 有些数既能表示成3个连续正整数的和，又能表示成4个连续正整数的和，还能表示成5个连续正整数的和，例如：30满足上述要求.因为 ，，， 问：在1900至2200之间满足上述要求的数有哪些？ 解 3个连续正整数的和，一定能被3整除；4个连续正整数的和，能被2整除，且商是奇数，也就是说，它被4整除后，余数一定是2；5个连续正整数的和，一定能被5整除，3、4、5的最小公倍数是60.已知30是满足条件的数，所以30加上(或减去)60的整数倍后，所得的数仍满足条件.由于,因此是大于1900且满足条件的最小的数. 因此在1900至2200中满足条件的数是1950、2010、2070、2130、2190，共5个数. 典例3 (1)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？ (2)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数的数字和能被4整除？ 解 (1)由于每连续4个正整数中必有一个能被4整除，而3997、3998不能被4整除，但3996可