2021年小升初奥数22讲-第18讲一次不等式

第18讲一次不等式 知识要点 对于一元一次不等式 ，有(1) 时， ；(2) 时， ；（3） 时，若 ，则不等式无解；若 ，则不等式的解为一切实数. 相等与不等是矛盾的两个方面，既相互统一，又可互相转化.利用不等式的思想可解决一些方程问题. 典例精讲 典例1 解 下列关于 的一次不等式，必要时加以讨论. （2） 解 （1）去分母得 ，即 ，所以 . （2）由题设知 ，去分母并整理得 . 当 ，即 时， ； 当 ，即 时，无解； 当 ，即 时， . 典例2 已知不等式 的解为 ，求不等式 的解. 解 已知不等式为 ，所以由题设得 所以 由 可得 ，从而 ， .于是不等式 等价于 ，即 所以 ，所求的不等式 解为 . 典例3 如果不等式组 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数 的有序数对 共有多少对? 解 由原不等式组可解得 . 如图18-1，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得 即 图18-1 所以 共9个， 共8个，于是有序数对 共有 个. 典例4 设 均为整数，且关于 的方程 、 、 、 的解都是正数，试求 的最小值. 解 由方程 的解是正数，可知 .注意到 都是整数，则 .同理 ， ； ， .而 ， ，所以 ， ， .即 的最小值是 . 典例5 设是 正整数，求满足 ，且 最小的分数 . 分析 欲求 的最小值，只需将 放入一个不等式，然后估计出 的下界.这里要用到整数的离散性，即若整数 满足 ，则 . 解 原不等式等价于 即 所以 ， ，所以 .又分数 满足 ，故 最小且满足题意的分数是 . 典例6 从1开始，写出一组连续的正整数，擦去一个数后，其余整数的平均值为 . 问：擦去的数是多少? 解 设写出的一组连续的正整数为 ，擦去的一个数为 ， 由题意得 . ① 而 . 即 .解之得 .由于 是正整数，所以 或 .又由①知 必为17的倍数，所以 .代入①式得 ，解得 .故擦去的数是7. 说明 本题利用 这一不等关系，先确定 的取值范围，从而使问题得到解决.不等式在与整数有关的问题中的应用很多，请读者注意体验本题中所用的方法. 典例7 某公交公司停车场内有13辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后要每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出1分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场