2021年小升初奥数22讲-第15讲 一元一次方程

第15讲一元一次方程 知识要点 方程是中学数学中最重要的内容之一，最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来求解.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧. 一元一次方程 (其中 是未知数， 为已知数)的解由 的取值来确定： 1.若 ，则方程有唯一解 ； 2.若 ，且 ，方程变为 ，则方程有无数多个解； 3.若 ，且 ，方程变为 ，则方程无解. 典例精讲 典例1定义一个运算 ，其规则为 ，试求方程 的解. 解 ，可得 . 典例2 已知 都是质数，并且以 为未知数的一元一次方程 的解是1，求代数式 的值. 解 依题意 ，显然，由于97是质数， 必一奇一偶.若 是偶数，则它只能是2. ， ，合乎题意， ；若 是偶数，则 ， 是合数，不合乎题意，舍去.综上， . 典例3 已知下面两个方程 ， ① ② 有相同的解，试求 的值. 分析 本题解题思路是从方程①中求出 的值，代入方程②，求出a的值. 解 由方程①可求得 ，所以 .由题设， 也是方程②的解，根 据方程解的定义，把 代入方程②时，应有 ， , .所以 . 典例4解方程： 分析 本题将方程中的括号去掉后产生 ，但整理化简后可以消去 ，也就是说， 原方程实际上仍然是一个一元一次方程。 解 将原方程整理化简得 ，即 . 当 时，即 时，方程有唯一解 (2)当 时，即 或 时.若 ，即 ，则 ，此时方程无解；若 ，即 时，方程有无数多个解. 说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程唯一解、无解、无数多个解这三种情况进行讨论. =1. 典例5若 ，解方程 解 因为 ，所以原方程可变形为 . 化简整理为 ， ， 化简整理为 ， 所以 ，为原方程的解. 说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化. 典例6 已知关于 的方程 ，且 为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数 的最小值. 解 由原方程可解得 .因为 为正整数，所以 应是大于142的整数，所以 ，即 .因为 正整数，要使 为整数， 必须是10的倍数，而且为使 最小，所以 应取160，则 ，即满足题设的正整数 的最小值为2. 说明 本题实际上是求 的最小正整数解。