2021年小升初奥数22讲-第12讲圆与扇形

第12讲 圆与扇形 知识要点 扇形是圆的一部分，它是由两条半径和圆心角所对弧围成的图形，有关扇形计算的问题主要涉及以下几个基本量：半径、圆心角、弧长、面积.它们之间的关系如下（见图12-1)： Or S 设扇形圆心角是度，则 扇形弧长计算公式是. 图12-1 扇形面积计算公式是. 典例精讲 典例1 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线联结起来得图12-2，求图中阴影部分的总面积（). 解 图12-2阴影部分相当于图12-3的阴影部分，即为半个圆环.小圆半径为厘米，大圆半径平方为，所以图12-3中阴影部分（即半个圆环)的面积为平方厘米. 典例2 图12-4是圆心为，半径是10厘米的圆，以为圆心、为半径画一圆弧，求阴影部分的面积(). 解 三角形AOC的面积为 也就是以AC为边的正方形面积的，即 ,. 弓形的面积是扇形与直角三角形的面积之差，即 . 阴影部分面积等于圆而积之半减去弓形的面积，即 (平方厘米). 典例3 已知长方形的长，宽. （1)如图12-5，一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； （2)如图12-6，分别为上的点，且,一个半径为1cm的圆在长方形外侧连续地从经过点滚动到点，求圆滚过的面积.（结果保留） 解 (1）. 由，,可得. . 答：沿内侧浪动一周的面积为平方厘米，沿外侧从点滚到点的面积为 平方厘米. 典例4 如图12-7，一个等腰直角三角形的直角边长度是1米.现在以点为旋转中心，将三角形按顺时针方向旋转90°，求AB边在旋转时所扫过的面积(). 解 如图12-8，按顺时针方向旋转后，点沿以点为圆心、为半径的圆弧转到.同样点沿圆弧转到点，点沿以点为圆心、为半径的圆弧转到点.因为是点到线段的距离，所以扫过的面积就是图中阴影部分的面积. 正方形的面积与三角形的面积相等，它等于平方米，所以，而扇形的面积（平方米). 又与的面积和（平方米) 所以阴影部分的面积为平方米. 典例5 图12-9中圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是平方厘米，求图中三角形的面积. 解 由半径为4厘米知，圆的而积是平方厘米，所以空白扇形而积占圆面积的，所以扇形的圆心角为，故三角形是等腰直角三角形，两条直角边都是4厘米，因此，直角三角形的面积（平方厘米). 典例6如图12-10，厘米，