精做07 坐标系与参数方程、不等式选讲-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做07 坐标系与参数方程、不等式选讲 一、极坐标方程 【例1】（2021·江西高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线和直线的直角坐标方程； （2）若极坐标方程为的直线与曲线交于异于原点的点，与直线交于点，且直线交轴于点，求的面积. 【详解】 （1）曲线的参数方程为（为参数，且）， 由，可得，， ，故曲线直角坐标方程为. 直线的极坐标方程为，即， 即，故直线的直角坐标方程为； （2）曲线的极坐标方程为，即， 所以，，即，解得，即. 将点的极坐标代入直线的极坐标方程得，可得，即， 直线与轴的交点为， ， ， 故. 1、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 2、在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 【对点训练1】（2021·全国高三月考（文））已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程； （2）已知过原点的直线与曲线仅有1个交点，若与曲线也仅有1个交点，求点的极坐标． 【详解】 （1）当时，，当且仅当时等号成立. 当时，，当且仅当时等号成立. 而曲线故曲线的普通方程（或）； 而曲线， 故曲线的直角坐标方程； （2）易知直线的斜率存在，设直线； 而圆，故，解得； 联立解得或 故点的极坐标为或． 二、参数方程 【例2】（2021·江西南昌市·高二期末（文））在平面直角坐标系内，直线过点，斜率为．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为． （1）求圆的直角坐标方程以及圆的参数方程． （2）设直线与圆交于、两点，求的值． 【详解】 （1）由，得， 从而有，即：， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，圆的参数方程（为参数）； （2）由题意设直线的参数方程为（为参数），即：（为参数）， 代入圆的方程得，整理得：， ，由韦达定理可得，， 因为，所以． 1、几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数． (2)椭圆 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． (3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 其中t是参数． 2、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等．把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 【对点训练2】（2020·江西高二期末（文））在平面直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且弦的中点为D，求的长度. 【详解】 （1）∵直线l过点，且倾斜角为， ∴直线l的参数方程为，即（t为参数）. 得， （2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得 ，整理得： 设A，B对应的参数分别为，，则，， 由参数t的几何意义可得：. 三、极坐标与参数方程的综合应用 【例3】（2021·四川高三一模（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角; （2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的值. 【详解】 （1）曲线的参数方程为，则有， 则，即曲线的普通方程为. 直线的极坐标方程，展开可得， 将代入，可得，即，即， 所以斜率，则， 由，可得，所以直线的倾斜角为. （2）由（1）知，点在直线上， 则直线的参数方程为(为参数). 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得 整理得：， 设点对应的参数分别为，则. 所以 1、对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰． 2、对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． 3、利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【对点训练3】（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（文））在直角坐标系中，直线的