精做07 坐标系与参数方程、不等式选讲-备战2021年高考数学（理）大题精做

精做07 坐标系与参数方程、不等式选讲 一、极坐标方程 【例1】（2021·全国高三专题练习（理））在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）若点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小值． 【详解】 （1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为． 即， 由极坐标与直角坐标的互化公式，，得曲线的极坐标方程为. 直线的极坐标方程为，即； （2）设点的极坐标为，点的极坐标为，其中． 由（1）知，． ． ，．． 当，即时，取得最小值． 1、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 2、在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 【对点训练1】（2021·河南平顶山市·高三二模（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为. （1）求曲线普通方程和直线的直角坐标方程； （2）已知曲线和直线相交于、两点，求三角形面积. 【详解】 解：（1）曲线的参数方程为（为参数）， 所以， 曲线的普通方程：. 直线的极坐标方程为，展开得 由得，. 直线的直角坐标方程：. （2）由于直线经过圆圆心，所以. 而到直线的距离为，. 所以三角形面积. 二、参数方程 【例2】（2021·全国高二（理））已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程： （2）若直线与曲线相交于不同的两点、，求及的值． 【详解】 （1）由可得出曲线的直角坐标方程为，即. 由于直线过定点，且倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）； （2）设点、对应的参数分别为、， 将直线的参数方程与曲线的直角方程联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以，，. 1、几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数． (2)椭圆 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． (3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 其中t是参数． 2、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等．把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 【对点训练2】（2019·湖南衡阳市·高二月考（理））已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求的参数方程和的普通方程； （2）设点在上，点在上，求的最小值. 【详解】 解：（1）曲线的参数方程为（为参数）， 曲线的普通方程为. （2）设， 点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值， 因为，其中， 当时，的最小值为1，此时. 三、极坐标与参数方程的综合应用 【例3】（2021·全国高三二模（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若与交于，两点，求证：为定值. 【详解】 （1）解：由(为参数)，消去参数， 得， 即的普通方程为. 由， 得， 将，代入，得， ∴的直角坐标方程为. （2）证明：由(为参数)， 得， 故的几何意义是抛物线上的点(除原点外)与原点连线的斜率. 由（1）知，当时，：， 则与只有一个交点，不合题意，故. 把代入， 得， 设，两点所对应的参数分别为，， 则，， ∴. 1、对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰． 2、对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． 3、利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【对点训练3】（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知曲线的参数方程为(为参数，)．点在曲线上，直线l过点P，且倾斜角为． （1）求点P在曲线上对应的参数θ的值； （2）求直线l被曲线截得的线段的长度． 【详解】 解：（1）曲线S的参数方程为(为参数，)．点在曲线S上， 所以，由于， 所以． （2）曲线的参数方程为(为参数，)转换为直角坐标方程为， 直线l过点，且倾斜角为， 所以直线的方程为， 由于圆心在直线