专题10 与圆有关的综合问题（镇江26南京24苏州28常州27扬州25题盐城25题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题10 与圆有关的综合问题 【真题再现】 1．（2020年镇江第26题）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点． （1）求证：四边形ABEO为菱形； （2）已知cos∠ABC，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长． 【分析】（1）先由G为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB＝AO，则可得结论； （2）过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB＝AO＝OE＝x，则由cos∠ABC，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可． 【解析】（1）证明：∵G为的中点， ∴∠MOG＝∠MDN． ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°， ∴∠MOG+∠A＝180°， ∴AB∥OE， ∴四边形ABEO是平行四边形． ∵BO平分∠ABE， ∴∠ABO＝∠OBE， 又∵∠OBE＝∠AOB， ∴∠ABO＝∠AOB， ∴AB＝AO， ∴四边形ABEO为菱形； （2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F， 则∠PAO＝∠ABC， 设AB＝AO＝OE＝x，则 ∵cos∠ABC， ∴cos∠PAO， ∴， ∴PAx， ∴OP＝OQx 当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点， ∴在Rt△OBQ中，由勾股定理得：82， 解得：x＝2（舍负）． ∴AB的长为2． 2．（2020年南京第24题）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形； （2）AF＝EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可． 【解析】证明：（1）∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠BAC＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴BD∥CF， ∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形； （2）连接AE， ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠B， ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF＝180°， ∵BD∥CF， ∴∠ECF+∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AF＝EF． 3．（2020年苏州第28题）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8． （1）求OP+OQ的值； （2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ的面积． 【分析】（1）由题意得出OP＝8﹣t，OQ＝t，则可得出答案； （2）如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OBBDx，PD＝8﹣t﹣x，得出，则，解出x．由二次函数的性质可得出答案； （3）证明△PCQ是等腰直角三角形．则S△PCQPC•QCPQPQ2．在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ可得出答案． 【解析】（1）由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t， ∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）． （2）当t＝4时，线段OB的长度最大． 如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ． ∵OT平分∠MON， ∴∠BOD＝∠OBD＝45°， ∴BD＝OD，OBBD． 设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OBBDx，PD＝8﹣t﹣x， ∵BD∥OQ， ∴， ∴， ∴x． ∴OB． ∵二次项系数小于0． ∴当t＝4时，线段OB的长