专题8 函数与几何综合问题（泰州23无锡27南通21盐城27苏州25题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题8 函数与几何综合问题 【真题再现】 1．（2020年泰州第23题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果； （2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围． 【解析】（1）∵PD∥AB， ∴， ∵AC＝3，BC＝4，CP＝x， ∴， ∴CD， ∴AD＝AC﹣CD＝3， 即AD； （2）根据题意得，S， ∴当x≥2时，S随x的增大而减小， ∵0＜x＜4， ∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4． 2．（2020年泰州第21题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若a＝2，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标． 【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a； （2）在（1）的条件下，根据a＝2，A点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P点的坐标． 【解析】（1）如图，点P即为所求； （2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x）， 过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D， ∵PA＝a＝2，A点的坐标为（3，1）， ∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3， 根据勾股定理，得 PA2＝PD2+AD2， ∴（2）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2， 解得x＝5，x＝﹣1（舍去）． 所以P点的坐标为（5，5）． 3．（2020年无锡第27题）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S． （1）若DE，求S的值； （2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式． 【分析】（1）根据三角函数的定义得到∠AED＝60°，根据平行线的性质得到∠BAE＝60°，根据折叠的性质得到∠AEC＝∠AEM，推出△APE为等边三角形，于是得到结论； （2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，求得AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，根据勾股定理列方程得到a，于是得到结论． 【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE， ∴AE， ∴tan∠AED， ∴∠AED＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝60°， ∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME， ∴∠AEC＝∠AEM， ∵∠PEC＝∠DEM， ∴∠AEP＝∠AED＝60°， ∴△APE为等边三角形， ∴S（）×1； （2）过E作EF⊥AB于F， 由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE， ∴AP＝PE， 设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x， 则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1， 在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a， ∴S． 4．（2020年南通第21题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标． 【解析】（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， 把x＝1代入y＝x+3得y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 5．（2020年盐城第27题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4． （Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米） AC 2