专题7 几何动点与变换综合性问题（淮安26宿迁27常州26南通24扬州27题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题7 几何动点与变换综合性问题 【真题再现】 1．（2020年淮安第26题）[初步尝试] （1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　AM＝BM　； [思考说理] （2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； [拓展延伸] （3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM． ①求线段AC的长； ②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围． 【分析】（1）利用平行线的方向的定理解决问题即可． （2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可． （3）①证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题． ②证明△PFA′∽△MFC，推出，因为CM＝5，推出即可解决问题． 【解析】（1）如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN， ∵∠MNB＝∠ACB＝90°， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM． 故答案为AM＝BM． （2）如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 由题意MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠MCB， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴BM， ∴AM＝AB﹣BM＝10， ∴． （3）①如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴ ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝CM＝5， ∴， ∴AC． ②如图③﹣1中， ∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′， ∴△PFA′∽△MFC， ∴， ∵CM＝5， ∴， ∵点P在线段OB上运动，OA＝OC，AB′6， ∴PA′， ∴． 2．（2020年宿迁第27题）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：． 【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，连接BG交CD于点H． 求证：BH＝GH． 【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG． 【分析】【感知】证得∠BEC＝∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； 【探究】过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC＝GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论； 【拓展】在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM＝CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论． 【解析】【感知】证明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°， ∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°， ∴∠BEC＝∠EAD， ∴Rt△AED∽Rt△EBC， ∴． 【探究】证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知， ∵， ∴， ∴BC＝GM， 又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG， ∴△BCH≌△GMH（AAS）， ∴BH＝GH， 【拓展】证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE， 过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG， ∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB， ∴∠EAF＝∠BEM， ∴△AEF∽△EBM， ∴， ∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°， 而∠EFA＝∠AEB， ∴∠CED＝∠EFD， ∵∠BMG+∠BME＝180°， ∴∠N＝∠EFD， ∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°， ∴∠EDF＝∠CEN， ∴△DEF∽△ECN， ∴， 又∵， ∴， ∴BM＝CN， 又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN， ∴△BGM≌△CGN（AAS）， ∴BG＝CG． 3．（2020年常州第26题）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝