专题6 几何综合类比探究变化型问题（扬州27苏州26南京26连云港27宿迁28题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题6 几何综合类比探究变化型问题 【真题再现】 1．（2020年扬州第27题）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F． （1）求证：OC∥AD； （2）如图2，若DE＝DF，求的值； （3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值． 【分析】（1）由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得∠ADO＝∠DOC，则可得出结论； （2）证明△AOD和△ABD为等腰直角三角形，得出，证明△ADE∽△AOF，由相似三角形的性质可得出结论； （3）设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，由勾股定理得出4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m，可用x表示四边形ABCD的周长，根据二次函数的性质可求出x＝2时，四边形ABCD有最大值，得出∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，由直角三角形的性质可得出答案． 【解析】（1）证明：∵AO＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵OC平分∠BOD， ∴∠DOC＝∠COB， 又∵∠DOC+∠COB＝∠OAD+∠ADO， ∴∠ADO＝∠DOC， ∴CO∥AD； （2）解：如图1， ∵OA＝OB＝OD， ∴∠ADB＝90°， 设∠DAC＝α，则∠ACO＝∠DAC＝α． ∵OA＝OD，DA∥OC， ∴∠ODA＝∠OAD＝2α， ∴∠DFE＝3α， ∵DF＝DE， ∴∠DEF＝∠DFE＝3α， ∴4α＝90°， ∴α＝22.5°， ∴∠DAO＝45°， ∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形， ∴ADAO， ∴， ∵DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∵∠DFE＝∠AFO， ∴∠AFO＝∠AED， 又∠ADE＝∠AOF＝90°， ∴△ADE∽△AOF， ∴． （3）解：如图2， ∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC， ∴△BOC≌△DOC（SAS）， ∴BC＝CD， 设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m， ∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， ∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2， 解得：m， ∴OG＝2， ∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG， ∴G为BD的中点， 又∵O为AB的中点， ∴AD＝2OG＝4， ∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+442x+810， ∵0， ∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10． ∴BC＝2， ∴△BCO为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵OC∥AD， ∴∠DAO＝∠COB＝60°， ∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°， ∴∠AFD＝90°， ∴，DFDA， ∴． 2．（2020年苏州第26题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值． 【分析】（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论； （2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，ABAE，CDDF，即可求解． 【解析】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°， ∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠BAP＝∠DPC， 又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°， ∴△BAP≌△CPD（AAS）， ∴BP＝CD，AB＝PC， ∴BC＝BP+PC＝AB+CD； （2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F， 由（1）可知，EF＝AE+DF， ∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°， ∴BE＝AE，CF＝DF，ABAE，CDDF， ∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF）， ∴． 3．（2020年南京第26题）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，． （1）当时，求证△ABC∽△A'B'C'． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）当时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由． 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． （2）过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED＝∠C′E′D′，再证明∠ACB＝∠A′C′B′即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴△ADC∽△A′D′C'， ∴∠A＝∠A′， ∵， ∴△