专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题（泰州26淮安27常州28镇江28盐城27常州28题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题 【真题再现】 1．（2020年泰州第26题）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B． （1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值； （2）设直线PA与y轴所夹的角为α． ①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值； ②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变； （3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．证明AM＝PM＝m，根据AM+MN＝AM+OP＝AN，构建关系式即可解决问题． ②如图2中，由题意AB⊥y轴，求出PA，PB的长即可解决问题． （3））如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．设B（b，6ab2+n），由PA＝2PB，推出A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，由BE∥AK，推出，推出AK＝2BE，由此构建关系式，证明m＝﹣2b即可解决问题． 【解析】（1）由题意m＝2，n＝4， ∴y1＝a（x﹣2）2+4， 把（0，2）代入得到a． （2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M． ∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n， ∴P（0，am2+n）， ∵A（m，n）， ∴PM＝m，AN＝n， ∵∠APM＝45°， ∴AM＝PM＝m， ∴m+am2+n＝n， ∵m＞0， ∴am＝﹣1． ②如图2中，由题意AB⊥y轴， ∵P（0，am2+n）， 当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n， 解得x＝±m， ∴B（m，am2+n）， ∴PBm， ∵AP＝2m， ∴2． （3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E． 设B（b，6ab2+n）， ∵PA＝2PB， ∴点A的横坐标为﹣2b， ∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]， ∵BE∥AK， ∴， ∴AK＝2BE， ∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n）， 整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0， ∴（m﹣4b）（m+2b）＝0， ∵m﹣4b＞0， ∴m+2b＝0， ∴m＝﹣2b， ∴A（m，n）， ∴点A是抛物线C1的顶点． 2．（2020年淮安第27题）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m． （1）b＝　1　，n＝　﹣2　； （2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值； （3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）． ①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再将点B坐标代入二次函数中，即可求出n的值； （2）先表示出点M，N的坐标，进而用MN＝3建立方程求解，即可得出结论； （3）①先求出点C坐标，进而求出直线AC的解析式，再求出直线BC的解析式，进而表示出S1，S2，最后用S1﹣S2＝6建立方程求出m的值； ②先判断出CF∥OA，进而求出直线CF的解析式，再判断出AF∥x轴，进而求出点F的坐标，即可求出直线OF的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论． 【解析】（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2， ∴b＝1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， 将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2）， ∵A（﹣1，2）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， ∵点P（m，0）， ∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4）， ∵点N在点M